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Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' + 9 y = e 3 x

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' + 9 y = 0

E supor uma solução do tipo:

y h x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k 2 A e k x + 9 A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k x temos:

k 2 + 9 = 0 ∴ k = ± 3 i

As raízes são complexas do tipo k = α ± β i ecdv a solução é:

y x = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 s e n β x

Beleza? Aqui temos α = 0 e β = 3 . Vamos substituir os valores encontrados?

y h x = c 1 cos ⁡ 3 x + c 2 s e n 3 x

Agora vamos encontrar a solução particular.

Passo 3

Passo 4

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G x é G x = e 3 x , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser uma função exponencial:

y p x = A e 3 x

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função y p , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

y p ' x = 3 A e 3 x

y p ' ' x = 9 A e 3 x

Resgatando a equação diferencial integral temos:

y p ' ' + 9 y p = e 3 x

Agora substituindo y p ,   y p '   e y p ' ' na equação diferencial temos:

9 A e 3 x + 9 . A e 3 x = e 3 x

Reorganizando os termos temos:

18 A e 3 x = e 3 x

Assim:

A = 1 / 18

E a solução particular é:

y p x = 1 18 e 3 x

Passo 5

Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo 2 temos a solução y h e do passo 3 temos y p . Vai lá ao passo 1 e pega a solução geral:

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Substituindo os resultados teremos:

y x = c 1 cos ⁡ 3 x + c 2 s e n 3 x + 1 18 e 3 x

Se fosse um problema de valor inicial, agora seria a hora de aplicar as condições iniciais! Mas aqui não é o caso! Paramos por aqui =D

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = c 1 cos ⁡ 3 x + c 2 s e n 3 x + 1 18 e 3 x

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