Enunciado

Resolva a equação diferencial usando

  1. Coeficientes indeterminados e
  2. Variação de parâmetros.

y ' ' - 2 y ' + y = e 2 x

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos começar pelo método dos coeficientes indeterminados. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' - 2 y ' + y = 0

E a equação característica associada é:

k 2 - 2 k + 1 = 0

E solução vai ser dada pela fórmula de Bháskara:

k = - ( - 2 ) ± ( - 2 ) 2 - 4.1 . 1 2.1 = 2 ± 0 2 = 1 ,   k 1 =   k 2 = 1

Aqui a solução vai ser uma combinação de exponenciais:

y h = c 1 e x + c 2 x e x

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G x é G x = e 2 x , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução é um polinômio de ordem um:

y p = A e 2 x

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função y p , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

y p ' x = 2 A e 2 x

y p ' ' x = 4 A e 2 x

Resgatando a equação diferencial integral temos:

y p ' ' - 2 y p ' + 1 y p = e 2 x

Agora substituindo y p ,   y p '   e y p ' ' na equação diferencial temos:

4 A e 2 x - 2 2 A e 2 x + A e 2 x = e 2 x

Reorganizando os termos temos:

A e 2 x = e 2 x

Igualando os coeficientes dos dois lados temos o valor de A : A = 1

E a solução particular é:

y p x = e 2 x

E a solução geral vai ser:

y x = c 1 e x + c 2 x e x + e 2 x

Passo 3

Agora vamos resolver o mesmo sistema, mas pelo método da variação de parâmetros.

Esse método consiste no seguinte: determinado duas soluções para a equação diferencial homogênea associada y 1 e y 2 , supõe-se que a solução particular vá ser uma combinação linear com parâmetros variáveis, dessa forma:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

No texto do livro é deduzido o sistema de equações que essa solução deve satisfazer, a saber, são as equações 7 e 9 e formam o seguinte sistema:

a u 1 ' y 1 + u 2 ' y 2 = G u 1 ' y 1 + u 2 ' y 2 = 0

Onde a é o coeficiente de y ' ' e G é a função que dá origem a solução particular. Resolvendo esse sistema de equações chegamos as seguintes equações para u 1 ' e u 2 ' :

u 1 ' = - G y 2 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' ) ,     u 2 ' = - G y 1 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' )  

E depois é só fazer a integração.

No nosso caso y 1 = e x e y 2 = x e x . E as derivadas são y 1 ' = e x e y 2 ' = e x + x e x . E G = e 2 x e também a = 1 .

Então podemos calcular o denominador:

y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' = e x . e x + x e x - e x . x e x = e 2 x

Assim u 1 ' fica:

u 1 ' = - G y 2 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' ) = - e 2 x x e x e 2 x = - x e x

E integrando em relação a x temos:

u 1 = ∫ - x e x d x

A integral será resolvida por partes:

u 1 = - x e x + ∫ e x d x = - x e x + e x

E já vou calcular aqui u 1 y 1 pois vai ser útil depois!

u 1 y 1 = - x e 2 x + e 2 x

Passo 4

Pronto, agora vamos calcular u 2 e posteriormente u 2 y 2 .

Da fórmula para u 2 ' do passo anterior temos:

u 2 ' = - G y 1 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' ) = e 2 x e x e 2 x = e x

E integrando em relação a x temos:

u 2 = ∫ e x d x = e x

E o valor de u 2 y 2 pois vai ser:

u 2 y 2 = x e 2 x

Pronto! Agora vamos juntar os resultados dos passos 3 e 4 e determinar a solução particular.

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2 = - x e 2 x + e 2 x + x e 2 x = e 2 x

E a solução completa vai ser:

y = y h + y p = c 1 e x + c 2 x e x + e 2 x

E é a mesma solução encontrada no passo 1 !

Resposta

y x = c 1 e x + c 2 x e x + e 2 x

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