Enunciado

11-17. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v .

14. g u ,   v = u 2 e - v ,   3 ,   0 ,   v = 3 i + 4 j

Passo 1

Então galera, para determinarmos a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v , segundo o Stewart na seção 14.6 precisamos fazer:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Que é o gradiente de f . Em seguida:

D u f = ∇ f . u

No qual u é o vetor unitário na direção de v . No nosso caso as variáveis são um pouco diferentes, mas o raciocínio é literalmente o mesmo, tudo bem? No nosso caso, temos:

∇ g = ∂ g ∂ u i + ∂ g ∂ v j

Passo 2

Descobrindo nosso gradiente:

∇ g = 2 u e - v i - u 2 e - v j

∇ g 3 ,   0 = 2.3 e 0 i - 3 2 e 0 j = 6 i - 9 j

Descobrindo u :

u = v v = 3 i + 4 j 3 2 + 4 2 = 1 5 3 i + 4 j

Sendo assim, nossa derivada direcional será:

D u g 3 ,   0 = ∇ g 3 ,   0 . u

D u g 3 ,   0 = 6 i - 9 j . 1 5 3 i + 4 j = 1 5 ( 18 - 36 )

∴ D u g 3 ,   0 = - 18 5

Resposta

D u g 3 ,   0 = - 18 5

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