Resolva a equação diferencial.

5.4y'' + 4y' + y = 0

Passo 1

A equação diferencial que está no enunciado só tem constantes multiplicando os termos que envolvem y, então uma solução dela é:

y = e r x

Suas derivadas vão ser:

y ' = r e r x

y ' ' = r 2 e r x

Precisamos então encontrar r para podermos escrever a solução geral dessa EDO.

Passo 2

Substituindo o que calculamos na equação da questão:

4 r 2 e r x + 4 r e r x + e r x = 0

Dividindo tudo por 4 e r x , encontramos o polinômio característico:

r 2 + r + 1 4 = 0

Vamos reescrever ele:

r + 1 2 2 = r + 1 2 r + 1 2 = 0

E então teremos uma raiz dupla em r = - 1 2

Passo 3

Como as raízes são reais e iguais, a solução geral tem a essa cara:

y = c 1 e r x + c 2 x e r x

Substituindo o r :

y = c 1 e 1 2 x + c 2 x e 1 2 x

E essa será nossa solução geral.

Resposta

y = c 1 e 1 2 x + c 2 x e 1 2 x

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