Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 39
Encontre o centro de massa do sólido com a dada função de densidade .
Passo 1
Nesse exercício, iremos analisar o sólido que fica acima do plano e abaixo do parabolóide com função densidade .
A imagem a seguir ilustra a região de interesse descrita no enunciado:
Lembrando que estamos interessados somente na parte acima do plano . Através da imagem podemos perceber que a projeção de no plano é um círculo com raio variando de 0 a 1. Sendo assim, iremos converter as coordenadas e para o sistema polar após integrar em .
Começaremos o exercício descobrindo a massa do sólido, sendo assim:
Dessa forma, podemos escrever a integral como:
Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por :
Simplificando a expressão, temos:
Passo 2
Agora iremos passar o sistema de coordenadas cartesiano para polar fazendo . Dessa forma, temos:
Lançando mão da relação fundamental . E, simplificando, obtemos:
Iremos separar a integral em e e resolver simultaneamente, sendo assim, temos:
Dessa forma, a massa é:
Passo 3
Para calcular a posição do centro de massa do sólido, iremos calcular os momentos de massa do solido com relação aos 3 eixos. Começaremos com relação ao eixo :
Agora iremos passar o sistema de coordenadas cartesiano para polar fazendo . Dessa forma, temos:
Lançando mão da relação fundamental . E, simplificando, obtemos:
Iremos separar a integral em e e resolver simultaneamente, sendo assim, temos:
Dessa forma, temos:
Passo 4
Agora, para o eixo :
Agora iremos passar o sistema de coordenadas cartesiano para polar fazendo . Dessa forma, temos:
Lançando mão da relação fundamental . E, simplificando, obtemos:
Iremos separar a integral em e e resolver simultaneamente, sendo assim, temos:
Dessa forma, temos:
Passo 5
Agora, para o eixo :
Agora iremos passar o sistema de coordenadas cartesiano para polar fazendo . Dessa forma, temos:
Lançando mão da relação fundamental . E, simplificando, obtemos:
Iremos separar a integral em e e resolver simultaneamente, sendo assim, temos:
Dessa forma, temos:
Com isso, o centro de massa é dado por:
Sendo assim: