Enunciado

Encontre o centro de massa do sólido E com a dada função de densidade ρ .

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar o sólido E que fica acima do plano x y e abaixo do parabolóide z = 1 - x 2 - y 2 com função densidade ρ x , y , z = 3 .

A imagem a seguir ilustra a região de interesse descrita no enunciado:

Lembrando que estamos interessados somente na parte acima do plano x y . Através da imagem podemos perceber que a projeção de E no plano x y é um círculo com raio variando de 0 a 1. Sendo assim, iremos converter as coordenadas x e y para o sistema polar após integrar em z .

Começaremos o exercício descobrindo a massa do sólido, sendo assim:

m = ∫ ∫ ∫ ρ x , y , z d V

Dessa forma, podemos escrever a integral como:

∫ ∫ ∫ 0 1 - x 2 - y 2 3 d z d A

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por z :

∫ ∫ 3 z z = 0 z = 1 - x 2 - y 2 d A = ∫ ∫ [ 3 1 - x 2 - y 2 - 0 ] d A

Simplificando a expressão, temos:

∫ ∫ 3 ( 1 - x 2 - y 2 ) d A

Passo 2

Agora iremos passar o sistema de coordenadas cartesiano para polar fazendo x = r c o s   θ ,   y = r s e n θ . Dessa forma, temos:

3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( 1 - r 2 cos 2 ⁡ θ - r 2 s e n 2   θ )   r d r d θ

Lançando mão da relação fundamental s e n 2   x + cos 2 ⁡ x = 1 . E, simplificando, obtemos:

3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( 1 - r 2 )   r d r d θ

Iremos separar a integral em r e θ e resolver simultaneamente, sendo assim, temos:

3 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 r - r 3 d r = 3 θ 0 2 π 1 2 r 2 - 1 4 r 4 0 1

3 2 π - 0 1 2 1 2 - 1 4 1 4 - 0

Dessa forma, a massa é:

m = 3 2 π

Passo 3

Para calcular a posição do centro de massa do sólido, iremos calcular os momentos de massa do solido com relação aos 3 eixos. Começaremos com relação ao eixo x :

M y z = ∫ ∫ ∫ x ρ x , y , z d V = ∫ ∫ ∫ 0 1 - x 2 - y 2 3 x d z d A

∫ ∫ 3 x z z = 0 z = 1 - x 2 - y 2 d A = ∫ ∫ [ 3 x 1 - x 2 - y 2 - 0 ] d A

∫ ∫ 3 x ( 1 - x 2 - y 2 ) d A

Agora iremos passar o sistema de coordenadas cartesiano para polar fazendo x = r c o s   θ ,   y = r s e n θ . Dessa forma, temos:

3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( r c o s θ ) ( 1 - r 2 cos 2 ⁡ θ - r 2 s e n 2   θ )   r d r d θ

Lançando mão da relação fundamental s e n 2   x + cos 2 ⁡ x = 1 . E, simplificando, obtemos:

3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r c o s θ ( 1 - r 2 )   r d r d θ

Iremos separar a integral em r e θ e resolver simultaneamente, sendo assim, temos:

3 ∫ 0 2 π c o s θ d θ ∫ 0 1 r 2 - r 4 d r = 3 sen ⁡ θ 0 2 π 1 3 r 3 - 1 5 r 5 0 1

3 0 - 0 1 3 1 3 - 1 5 1 5 - 0

Dessa forma, temos:

M y z = 0

Passo 4

Agora, para o eixo y :

M x z = ∫ ∫ ∫ y ρ x , y , z d V = ∫ ∫ ∫ 0 1 - x 2 - y 2 3 y d z d A

∫ ∫ 3 y z z = 0 z = 1 - x 2 - y 2 d A = ∫ ∫ [ 3 y 1 - x 2 - y 2 - 0 ] d A

∫ ∫ 3 y ( 1 - x 2 - y 2 ) d A

Agora iremos passar o sistema de coordenadas cartesiano para polar fazendo x = r c o s   θ ,   y = r s e n θ . Dessa forma, temos:

3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( r s e n θ ) ( 1 - r 2 cos 2 ⁡ θ - r 2 s e n 2   θ )   r d r d θ

Lançando mão da relação fundamental s e n 2   x + cos 2 ⁡ x = 1 . E, simplificando, obtemos:

3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r s e n θ ( 1 - r 2 )   r d r d θ

Iremos separar a integral em r e θ e resolver simultaneamente, sendo assim, temos:

3 ∫ 0 2 π s e n θ d θ ∫ 0 1 r 2 - r 4 d r = 3 - cos ⁡ θ 0 2 π 1 3 r 3 - 1 5 r 5 0 1

3 [ - 1 - - 1 ] 1 3 1 3 - 1 5 1 5 - 0

Dessa forma, temos:

M x z = 0

Passo 5

Agora, para o eixo z :

M x y = ∫ ∫ ∫ z ρ x , y , z d V = ∫ ∫ ∫ 0 1 - x 2 - y 2 3 z d z d A

∫ ∫ 3 2 z 2 z = 0 z = 1 - x 2 - y 2 d A = ∫ ∫ 3 2 1 - x 2 - y 2 2 - 0 2 d A

∫ ∫ 3 2 1 - x 2 - y 2 2 d A

Agora iremos passar o sistema de coordenadas cartesiano para polar fazendo x = r c o s   θ ,   y = r s e n θ . Dessa forma, temos:

3 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 - r 2 cos 2 ⁡ θ - r 2 s e n 2   θ 2   r d r d θ

Lançando mão da relação fundamental s e n 2   x + cos 2 ⁡ x = 1 . E, simplificando, obtemos:

3 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( 1 - 2 r 2 + r 4 )   r d r d θ

Iremos separar a integral em r e θ e resolver simultaneamente, sendo assim, temos:

3 2 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 r - 2 r 3 + r 5 d r = 3 2 θ 0 2 π 1 2 r 2 - 1 2 r 4 + 1 6 r 6 0 1

3 2 [ 2 π - 0 ] 1 2 1 2 - 1 2 1 4 + 1 6 1 6 - 0

Dessa forma, temos:

M x z = 1 2 π

Com isso, o centro de massa é dado por:

x - , y - , z - = M y z m , M x z m , M x y m

Sendo assim:

x - , y - , z - = 0,0 , 1 3

Resposta

m = 3 2 π

x - , y - , z - = 0,0 , 1 3

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Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é o cubo dado por 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , 0 ≤ z ≤ a ; ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2
Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é o tetraedro limitado pelos planos x = 0 ,y = 0 ,z = 0 ,x + y + z = 1 ρ x , y , z = y
Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é limitado pelo cilindro parabolóico z = 1 - y 2 e pelos planos x + z = 1 , x = 0 e z = 0 ; ρ x , y , z = 4
Utilize coordenadas cilíndricas.Determine a massa da bola B dada por x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância do eixo z .
Utilize coordenadas cilíndricas.Determine a massa e o centro de massa do sólido S delimitado pelo paraboloide z = 4 x 2 + 4 y 2 e pelo plano z = a( a0 ) , se S tem densidade constante K .