Enunciado

Resolva a equação diferencial.

8. y = y^(' ')

Passo 1

Primeiro vamos reescrever a equação dada:

y^(' ') - y = 0

Uma solução para ela é:

y = e^(r x)

Derivando duas vezes:

y^' = r e^(r x)

y^(' ') = r^2 e^(r x)

Passo 2

Substituímos então na equação diferencial que estamos buscando a solução, para encontrarmos o valor de r : r^2 e^(r x) - e^(r x) = 0

Dividindo dos dois lados por e^(r x) :

r^2 - 1 = 0

As raízes do polinômio que encontramos serão:

r = +- 1

Passo 3

Como essas raízes são reais e distintas, a solução geral da nossa equação diferencial vai ser do tipo:

y = c_1 e^(r_1 x) + c_2 e^(r_2 x)

Substituindo os valores que encontramos em r_1 e r_2 :

y = c_1 e^x + c_2 e^(- x)

Pronto, essa é a solução geral que a gente procurava.

Resposta

y = c_1 e^x + c_2 e^(- x)

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4. Encontrar uma equação diferencial linear com coeficientes constantes cuja solução geral seja:a) k 1 + k 2 t e - 4 t b) k 1 e 3 t + k 2 e - 3 t c) k 1 e 2 t s e n4 t + k 2 e 2 t cos ⁡ 4 t .
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1. Encontrar a solução geral de cada um das equações diferenciais:a) y ' ' + y ' - 2 y = 0 b) 8 y ' ' + 14 y ' - 15 y = 0 c) y ' ' + 4 y = 0 d) 2 y ' ' - 5 3 y ' + 6 y = 0 e) 3 y ' ' - 5 y ' + 2 y = 0
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