Enunciado

Resolva a inequação

g ) x^2 - 4 x + 4 > 0

Passo 1

Para resolver essa inequação, primeiro devemos fazer o estudo do sinal dela. Usando a fórmula para as raízes do exercício 9 . Assim x_1 e x_2 são:

x_1 = (- b + sqrt(Delta))/(2 a) ; e x_2 = (- b - sqrt(Delta))/(2 a) .

Como para esse polinômio a = 1 , b = - 4 e c = 4 o valor de Delta é:

Delta = b^2 - 4 a c = (- 4)^2 - 4.1 . 4 = 0

E usando as fórmulas para as raízes temos:

x_1 = (- (- 4) + sqrt(0))/(2.1) = (4 + 0)/(2) = 2

x_2 = (- (- 4) - sqrt(0))/(2.1) = (4 - 0)/(2) = 2

Então a função troca de sinal no ponto onde x = 2

Passo 2

Agora vamos estudar os sinais. O polinômio x^2 - 4 x + 4 troca de sinal em x = 2 então devemos ver os sinais antes e depois desses valor:

  • Para x = 2 :

Testando para valores menores, por exemplo x = 0 temos: 0^2 - 4.0 + 4 > 0

Testando para valores maiores, por exemplo x = 3 temos: 3^2 - 4.3 + 4 > 0

Resumindo temos: antes e depois de x = 2 a função assume valores positivos, apenas em x = 2 que ela assume o valor nulo e não há intervalos onde ela é negativa:

Passo 3

Agora que já temos os sinais, podemos identificar qual é o intervalo de interesse. O problema pede apenas os valores positivos (sem incluir o zero!!) então o intervalo de interesse é antes de x = 2 e depois de x = 2 , ou seja, o intervalo só exclui o valor de x = 2 :

x != 2

Beleza?

Resposta

x != 2

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