Enunciado

Resolva as inequações.

|x - 1| - |x + 2| > x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente resolver a inequação que ele nos deu. Isso significa que precisamos encontrar os valores de x que satisfaçam a desigualdade.

Como nessa inequação estamos trabalhando com módulos, vamos relembrar a definição de módulo pra entender como resolver essa questão:

|x| = {[[x s e x >= 0],[- x s e x < 0]])

Repare que essa é uma função definida por partes e que cada expressão tem um sinal diferente. Então, o que nós vamos fazer é analisar o comportamento da função em cada parte, estudando seu sinal e verificando o que acontece com a nossa desigualdade.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa inequação é dada por:

|x - 1| - |x + 2| > x

Vamos analisar os sinais das expressões separadas dentro dos módulos:

Para x - 1 temos:

x - 1 = 0 -> x = 1

Vamos analisar o sinal antes e depois do ponto 1 :

A expressão assume valores negativos quando x < 1 e assume valores positivos quando x > 1 .

Para x + 2 temos:

x + 2 = 0 -> x = - 2

Vamos analisar o sinal antes e depois do ponto - 2 :

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - 2 e assume valores positivos quando x > - 2 .

Passo 3

Vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Vamos analisar os três casos, com x <= - 2 , - 2 < x <= 1 e x > 1 .

Com x <= - 2 temos que x - 1 < 0 e x + 2 <= 0 , assim vamos substituir as expressões na inequação com o sinal negativo:

|x - 1| - |x + 2| > x

- (x - 1) - (- (x + 2)) > x

- x + 1 + x + 2 > x

x < 3

Como estamos supondo x <= - 2 , todo x satifazendo a condição x <= - 2 é solução da inequação, assim x < 3 não é solução.

Passo 4

Com - 2 < x <= 1 temos que x - 1 <= 0 e x + 2 > 0 , assim vamos substituir a primeira expressão na inequação com o sinal negativo e a segunda com sinal positivo:

|x - 1| - |x + 2| > x

- (x - 1) - (x + 2) > x

Fazendo o jogo de sinais:

- x + 1 - x - 2 > x

Isolando x :

- 3 x < 1

Divididindo ambos os lados por 3 :

- x < (1)/(3)

E multiplicando por - 1 , invertemos o sinal da desigualdade:

x > - (1)/(3)

Aqui, como estamos supondo - 2 < x <= 1 , e x > - (1)/(3) está dentro da suposição, vamos usar ela. Assim todo x satifazendo a condição - 2 < x < - (1)/(3) é solução da inequação.

Passo 5

Por último com x > 1 temos que x - 1 > 0 e x + 2 > 0 , assim vamos substituir as expressões na inequação com o sinal positivo:

|x - 1| - |x + 2| > x

x - 1 - (x + 2) > x

x - 1 - x - 2 > x

x < - 3

Como estamos supondo x > 1 , x < - 3 não está dentro dessa suposição, assim não existe x > 1 que seja solução da inequação.

Juntando então as soluções do passo 2 e 3 vamos ter:

x <= - 2

- 2 < x < - (1)/(3)

Assim juntando as duas temos como solução x < - (1)/(3) , pois x > - 2 fica dentro dessa solução.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

x < - (1)/(3)

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