p)   ∫ ( e 2 x + e - x ) d x

Passo 1

Chamando nossa integral de I , temos:

I =   ∫ ( e 2 x + e - x ) d x = ∫ e 2 x   d x + ∫ e - x   d x  

Não esquece: ∫ e x d x = e x + c  

Passo 2

Resolvendo!

I 1 = ∫ e 2 x d x = e 2 x 2 + c 1

Além disso,

I 2 = ∫ e - x d x = e - x - 1 + c 2

E vai ficar assim:

I = I 1 + I 2 = e 2 x 2 + e - x - 1 + c =   e 2 x 2 - e - x + c

Não esquece: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Passo 3

Verificando!

I = e 2 x 2 - e - x + c

Atenção: Não esqueça da regra da cadeia.

Derivando para verificar,

I ' = e 2 x 2 - e - x + c ' = e 2 x 2 ⋅ 2 -   e - x ⋅ - 1 + 0 = e 2 x + e - x

Como a derivada deu igual que queremos integrar, então acertamos!!

Resposta

e 2 x 2 - e - x + c

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