Enunciado

Resolva o problema de valor de contorno, se possível

y ' ' = 4 y

y 0 = 1 ,   y 1 = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.

Passo 2

Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k 2 A e k x - 4 A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k t temos:

k 2 - 4 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para determinar essas raízes, vamos usar a (mais famosa ainda) fórmula de Bháskara:

k = - ( 0 ) ± ( 0 ) 2 - 4.1 . - 4 2.1 = ± 16 2 = ± 4 2

Agora simplificando ao máximo temos duas soluções:

k = ± 2

As raízes são reais e assim a solução é:

y x = c 1 e 2 x + c 2 e - 2 x

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y 0 = 1

y 1 = 0

A primeira condição de contorno nos diz que   y 0 = 1 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 = 1

Simplificando teremos (lembrando que e 0 = 1 ):

c 1 + c 2 = 1 ∴ c 1 = 1 - c 2

A segunda condição de contorno é y 1 = 0 . Então, substituindo em y ( x ) temos:

y = c 1 e 2 + c 2 e - 2

A condição de contorno nos diz que y 1 = 0 , temos:

c 1 e 2 + c 2 e - 2 = 0

Mas c 1 = 1 - c 2 , então substituindo ali em cima temos uma expressão para c 2 :

1 - c 2 e 2 + c 2 e - 2 = 0

e 2 - c 2 e 2 + c 2 e - 2 = 0

c 2 e - 2 - e 2 = - e 2

c 2 = e 2 ( e 2 - e - 2 )

E também podemos determinar o valor de c 1 :

c 1 = 1 - c 2 = 1 - e 2 ( e 2 - e - 2 ) = e 2 - e - 2 - e 2 ( e 2 - e - 2 )

c 1 = - e - 2 ( e 2 - e - 2 )

Agora temos como determinar por completo a solução:

y x = - e - 2 ( e 2 - e - 2 ) e 2 x + e 2 ( e 2 - e - 2 ) e - 2 x

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = - e - 2 ( e 2 - e - 2 ) e 2 x + e 2 ( e 2 - e - 2 ) e - 2 x

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