Enunciado

Resolva o problema de valor de contorno, se possível.

y ' ' = y '

y 0 = 1 ,   y 1 = 2

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.

Passo 2

Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k 2 A e k x - A k e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k t temos:

k 2 - k = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para determinar essas raízes, vou tirar um fator comum:

k k - 1 = 0

Aqui temos que o produto de dois fatores é zero, então pelo menos um deles deve ser zero.

Assim temos duas soluções distintas:

k = 0 ou k = 1

E a solução vai ser do tipo exponencial:

y x = c 1 e 0 x + c 2 e x = c 1 + c 2 e x

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y 0 = 1

y 1 = 2

A primeira condição de contorno nos diz que   y 0 = 1 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y 0 = c 1 + c 2 e 0 = 1

c 1 + c 2 = 1

A segunda condição de contorno é y 1 = 2 . Então, substituindo em y ( x ) temos:

y ( 1 ) = c 1 + c 2 e = 2

Mas sabemos que c 1 = 1 - c 2 , certo? Então vamos substituir ali em cima:

1 - c 2 + e c 2 = 2

c 2 e - 1 = 2 - 1

c 2 = 1 e - 1

E agora podemos determinar também c 1 :

c 1 = 1 - 1 e - 1 = e - 1 - ( 1 ) e - 1 = e - 2 e - 1

Show! Agora que temos os valores das duas constantes podemos substituir na solução tentativa e correr pro abraço! Saca só:

y x = c 1 + c 2 e x

y x = e - 2 e - 1 + 1 e - 1 e x

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = e - 2 e - 1 + 1 e - 1 e x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial.5- y ' ' - 2 y ' + y = 0
Resolva a equação diferencial.10- 9 y ' ' + 4 y = 0
Resolva a equação diferencial.12- d 2 y d t 2 - 6 d y d t + 4 y = 0
Resolva a equação diferencial.3- y ' ' + 8 y ' + 41 y = 0
Resolva a equação diferencial.13- d 2 y d t 2 + d y d t + y = 0