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Resolva o problema de valor inicial.

y ' ' + 12 y ' + 36 y = 0 ,       y 1 = 0 ,   y ' 1 = 1

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero. Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. E depois aplicar as condições iniciais e determinar as constantes =)

Vamos lá?

Passo 2

Como primeiro passo, vamos supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

As derivadas de primeira e segunda ordem:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k 2 A e k x + 12 k A e k x + 36 A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k x temos:

k 2 + 12 k + 36 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:

k = - ( 12 ) ± ( 12 ) 2 - 4.1 . 36 2.1

k = - 12 ± 144 - 144 2 = - 12 ± 0 2 = - 6

Aqui temos duas raízes iguais, então a solução vai ser:

y x = c 1 e - 6 x + c 2 x e - 6 x

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y 1 = 0

y ' 1 = 1

A primeira condição de contorno nos diz que   y 1 = 0 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y 1 = c 1 e - 6 + c 2 x e - 6 = 0

Sendo assim temos:

e - 6 c 1 + c 2 = 0

Dalí tiramos o valor de c 1 :

c 1 = - c 2

A segunda condição de contorno é sobre a derivada. Então, derivando a solução temos (lembrem da regra do produto!):

y ' x = - 6 c 1 e - 6 x + c 2 e - 6 x - 6 c 2 x e - 6 x = 1

A condição de contorno nos diz que y ' 1 = 1 , então fazendo x = 1 temos:

6 c 2 e - 6 + c 2 e - 6 - 6 c 2 e - 6 = 1

E simplificando temos:

c 2 = 1 e - 6 = e 6

Mas sabemos que c 1 = - c 2 , então ficamos com uma expressão apenas para c 1 :

c 1 = - e 6

Agora temos como determinar por completo a solução:

y x = - e 6 . e - 6 x + e 6 . x e - 6 x

y x = x - 1 e - 6 x - 1

E é essa a solução!

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = x - 1 e - 6 x - 1

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