Enunciado

Resolva o problema de valor inicial.

y^(' ') + 12 y^' + 36 y = 0 , y (1) = 0 , y^' (1) = 1

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero. Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y (x) = A e^(k x)

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. E depois aplicar as condições iniciais e determinar as constantes =)

Vamos lá?

Passo 2

Como primeiro passo, vamos supor uma solução do tipo:

y (x) = A e^(k x)

As derivadas de primeira e segunda ordem:

y^' (x) = A k e^(k x)

y^(' ') (x) = A k^2 e^(k x)

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k^2 A e^(k x) + 12 k A e^(k x) + 36 A e^(k x) = 0

Dividindo essa equação por A e^(k x) temos:

k^2 + 12 k + 36 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:

k = (- ( 12 ) +- sqrt(( 12 )^2 - 4.1 . 36))/(2.1)

k = (- 12 +- sqrt(144 - 144))/(2) = (- 12 +- 0)/(2) = - 6

Aqui temos duas raízes iguais, então a solução vai ser:

y (x) = c_1 e^(- 6 x) + c_2 x e^(- 6 x)

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y (1) = 0

y^' (1) = 1

A primeira condição de contorno nos diz que y (1) = 0 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y (1) = c_1 e^(- 6) + c_2 x e^(- 6) = 0

Sendo assim temos:

e^(- 6) [c_1 + c_2] = 0

Dalí tiramos o valor de c_1 :

c_1 = - c_2

A segunda condição de contorno é sobre a derivada. Então, derivando a solução temos (lembrem da regra do produto!):

y^' (x) = - 6 c_1 e^(- 6 x) + c_2 e^(- 6 x) - 6 c_2 x e^(- 6 x) = 1

A condição de contorno nos diz que y^' (1) = 1 , então fazendo x = 1 temos:

6 c_2 e^(- 6) + c_2 e^(- 6) - 6 c_2 e^(- 6) = 1

E simplificando temos:

c_2 = (1)/(e^(- 6)) = e^6

Mas sabemos que c_1 = - c_2 , então ficamos com uma expressão apenas para c_1 :

c_1 = - e^6

Agora temos como determinar por completo a solução:

y (x) = - e^6 . e^(- 6 x) + e^6 . x e^(- 6 x)

y (x) = (x - 1) e^(- 6 (x - 1))

E é essa a solução!

Vamos pra próxima?

Resposta

y (x) = (x - 1) e^(- 6 (x - 1))

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