Resolva a equação diferencial.

6.9y'' + y = 0

Passo 1

A equação diferencial dada no enunciado só tem constantes multiplicando os termos de y e suas derivadas, então podemos dizer que uma solução da equação é:

y = e r x

E as derivadas dessa solução serão:

y ' = r e r x

y ' ' = r 2 e r x

Passo 2

Substituindo esses valores na equação fica:

9 r 2 e r x + e r x = 0

Dividindo os dois lados por 9 e r x :

r 2 + 1 9 = 0

Resolvendo:

r = - 1 9

r = ± i 3

O que significa que as raízes são complexas ( r = α ± i β ) .

Passo 3

Como elas são complexas nossa solução geral será do tipo:

y = e α x ( c 1 c o s β x + c 2 s e n β x )

Com α = 0 e β = 1 3 , a solução geral é:

y = c 1 cos ⁡ 1 3 x + c 2 s e n 1 3 x

Resposta

y = c 1 cos ⁡ 1 3 x + c 2 s e n 1 3 x

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