Enunciado

Resolva o problema de valor inicial (d y)/(d x) = (1)/(x sqrt(1 - x^2)) ; x > 1 , y (2) = pi

Passo 1

Vamos pensar um pouco...

Que tal expressar a solução em termos de integrais? Já vimos como faríamos isso em exercícios anteriores, agora seria só fazer a mesma coisa. Uma boa ideia seria usar uma função que satisfizesse 2 coisas:

  1. Quando aplicássemos o teorema fundamental do calculo, nos fornecesse exatamente a cara do (d y)/(d x)
  2. y (2) = pi

Vamos primeiro tentar satisfazer a primeira coisa .

Uma boa pedida seria y = int_(2 )^(x ) (1)/(t sqrt(1 - t^2)) d t . Concorda?

Quando derivamos, (d y)/(d x) = (1)/(x sqrt(1 - x^2)) .

Vamos testar a condição 2)?

y ( 0 ) = int_(2 )^(2 ) (1)/(t sqrt(1 - t^2)) d t = 0 != 1

Precisamos que nos forneça 2, não é? Então vamos somar ele em nossa solução. Ou seja, y = int_(2 )^(x ) (1)/(sqrt(1 - t^2)) d t + 2

E agora,

(0) = int_(2 )^(2 ) (1)/(t sqrt(1 - t^2)) d t + 2 = 2

Então fechou!

Resposta

y = int_(2 )^(x ) (1)/(sqrt(1 - t^2)) d t + 2

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