Enunciado

Resolva o problema de valor inicial.

y ' =   ( 1   +   3 x 2 ) / ( 3 y 2   -   6 y ) , y ( 0 )   =   1

e determine o intervalo de validade da solução.

Sugestão: Para encontrar o intervalo de validade, procure pontos nos quais a curva integral tem uma tangente vertical.

Passo 1

A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x   do outro lado. Antes disso, vamos fazer essa substituição: y '   = d y d x

Assim, temos:

d y d x =   ( 1   +   3 x 2 ) / ( 3 y 2   -   6 y )

( 3 y 2   -   6 y ) d y =   ( 1   +   3 x 2 ) d x

Passo 2

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ ( 3 y 2   -   6 y ) d y =   ∫ ( 1   +   3 x 2 ) d x

y 3 -   3 y 2 + c = x   +   x 3 + c '

y 3 -   3 y 2 = x   +   x 3 + C

No enunciado há uma informação de que y ( 0 )   =   1 . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

y 3 -   3 y 2 = x   +   x 3 + C

Ao substituir a informação encontramos o valor da constante C. Logo, temos:

1 3 -   3   .   1 2 = 0   +   0 3 + C

C   = -   2

Assim, a equação é:

y 3 -   3 y 2 = x   +   x 3 -   2

Passo 3

Ou seja, a equação é:

y 3 -   3 y 2 -   x 3 -   x   + 2 = 0

E o intervalo de validade é quando x <   1

Como vemos no gráfico o intervalo que há uma reta tangente vertical é no período dito acima.

Resposta

y 3 -   3 y 2 -   x 3 -   x   + 2 = 0

x <   1

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