Enunciado

30. Considere a equação

d y d x = y - 4 x x - y

  1. Mostre que a Eq. (i) pode ser colocada na forma

d y d x = y x - 4 1 - y x

logo, a Eq. (i) é homogênea.

(b) Introduza uma nova variável dependente υ de modo que υ = y/x, ou y = (x). Expresse dy/dx em função de x, υ e /dx.(c) Substitua y e dy/dx na Eq. (ii) pelas expressões no item (b) envolvendo υ e /dx. Mostreque a equação diferencial resultante é

v + x d v d x = v - 4 1 - v  

Ou

x d v d x = v ² - 4 1 - v  

Note que a Eq. (iii) é separável.(d) Resolva a Eq. (iii) obtendo υ implicitamente em função de x.(e) Encontre a solução da Eq. (i) substituindo υ por y/x na solução encontrada no item (d).(f) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais para a Eq. (i). Lembre-se de quea expressão à direita do sinal de igualdade na Eq. (i) depende, de fato, apenas da razão y/x.Isso significa que as curvas integrais têm a mesma inclinação em todos os pontos pertencentes auma mesma reta contendo a origem, embora essa inclinação varie de uma reta para outra.Portanto, o campo de direções e as curvas integrais são simétricos em relação à origem. Essapropriedade de simetria é evidente em seus gráficos?

Passo 1

Essa questão quer que manipulemos essa equação, o que nessa altura não nos é tão complicado assim , rsrs.Ja passamos por coisa pior em calculo 1. Vamos conseguir. Então temos

d y d x = y - 4 x x - y

Podemos dividir em cima e embaixo por x

y - 4 x x x - y x = y x - 4 1 - y x

Prontinho, manipulamos como o enunciado queria. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.43. y d y = 4 x y 2 + 1 1 2 d x , no qual y 0 = 1 .
Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.48. y ' + 2 y = 1 , no qual y 0 = 5 2 .
Resolva os problemas 1-4 sem consultar o texto. Complete o espaço em branco ou responda verdadeiro ou falso.O problema de valor inicial x y ' = 3 y ,y 0 = 0 possui a solução y = x 3 e_____________.
Resolva y x d y d x = e x ln ⁡ y sujeito a y 1 = 1 .
Resolva y 2 + 1 d x = ys e c 2 xd y .