Resolva o problema de valor inicial

dy/dt = e^t \* sen(e^t - 2)

y ln(2) = 0

Passo 1

Calma, muita calma nessa hora! Não se assustem com a questão. Em outras palavras ela nos pede para resolver uma equação diferencial ordinária (EDO). Apesar deste tópico não ter sido estudado ainda, podemos resolver a questão com o que já aprendemos. O procedimento é o seguinte: vamos separa os diferenciais d y e d t , deixando cada um deles em um membro. Vejamos um exemplo abaixo.

d y d t = f ( t ) g ( y )

g y d y = f t d t

Se g y = 1 , basta que nós integremos ambos os membros para descobrir o valor de y . Isto é:

y t = ∫ f t   d t

E consequentemente,

y t = F t + k

A questão do valor inicial é para descobrir quem é o nosso k .

Passo 2

Vejamos abaixo a EDO que devemos resolver.

d y d t = e t sen ⁡ e t - 2

Vamos separar os diferenciais. Desta forma, temos:

d y = e t sen ⁡ ( e t - 2 ) d t

Vamos mudar as variáveis agora. Chamando u = e t - 2 , consequentemente, d u = e t d t . Portanto, escrevemos a equação acima da seguinte forma:

d y = sen ⁡ u d u

Integrando ambos os lados, obtemos:

∫ d y = ∫ sen ⁡ u d u

y = - cos ⁡ u + k

Voltando para a variável inicial, temos:

y = - cos ⁡ e t - 2 + k

E assim conseguimos resolver a EDO!

Passo 3

Agora que resolvemos a EDO, nós já finalizamos a questão? A resposta para esta pergunta é bem simples: Não! Ainda não resolvemos o problema de valor inicial. Para isto, basta substituir no lugar de t = ln ⁡ 2 , e com isto obtemos y = 0 . Temos então:

y ln ⁡ 2 = - cos ⁡ e ln ⁡ 2 - 2 + k = 0

- cos ⁡ 2 - 2 + k = 0

- 1 + k = 0

k = 1

Portanto, a nossa solução é:

y = - cos ⁡ e t - 2 + 1

Resposta

y = - cos ⁡ e t - 2 + 1

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