Resolva o problema de valor inicial dy/dx = 1/(1 + x^2); y(0) = 2

Passo 1

Vamos pensar um pouco...

Que tal expressar a solução em termos de integrais? Já vimos como faríamos isso em exercícios anteriores, agora seria só fazer a mesma coisa. Uma boa ideia seria usar uma função que satisfizesse 2 coisas:

  1. Quando aplicássemos o teorema fundamental do calculo, nos fornecesse exatamente a cara do d y d x
  2. y ( 0 ) = 2 .

Vamos primeiro tentar satisfazer a primeira coisa .

Uma boa pedida seria y =   ∫ 0     x   1 1 + t 2   d t     . Concorda?

Quando derivamos, d y d x =     1 1 + x 2 .

Vamos testar a condição 2)?

y ( 0 ) =   ∫ 0     0   1 1 + t 2   d t = 0 ≠ 2

Precisamos que nos forneça 2, não é? Então vamos somar ele em nossa solução. Ou seja, y =   ∫ 0     x   1 1 + t 2   d t     + 2

E agora,

y ( 0 ) =   ∫ 0     0   1 1 + t 2   d t + 2 =   2  

Então fechou!

Resposta

=   ∫ 0     x   1 1 + t 2   d t     + 2

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