Enunciado

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 91-112.

Passo 1

O primeiro passo que pode ser feito para encontrar a solução do P.V.I. é integrar a expressão diferencial que o enunciado fornece.

Em seguida, deve aplicar as condições iniciais para a primeira derivada a fim de encontrar o valor da primeira constante que irá aparecer.

Após isso, deve-se integrar novamente a equação, cujo resultado da integral irá nos dar a função primitiva da derivada de segunda ordem e na qual podemos substituir os outros valores da condição inicial a fim de encontrarmos a equação desejada.

Passo 2

Portanto,

d 2 s d t 2 = 3 t 8

d s d t = ∫ 3 t 8 d t = 3 t ² 16 + C 1

Passo 3

O exercício nos dá uma condição inicial na qual diz que s ' = 3 quando t = 4 . Com esses valores é possível descobrir o valor da primeira constante e, assim, descobrir a equação que representa a primeira derivada. Logo:

d s d t = 3 t ² 16 + C 1

3 = 3 4 ² 16 + C 1   ∴   C 1 = 0

Então, a equação da primeira derivada é s ' = 3 t 2 16 .

Passo 4

Em seguida, deve-se integrar novamente para encontrar a equação da função primitiva:

d s = 3 t 2 16 d t

s = ∫ 3 t 2 16 d t = t 3 16 + C 2

Passo 5

O exercício nos dá outra condição inicial na qual diz que s = 4 quando t = 4 . Com esses valores é possível descobrir o valor da segunda constante e, assim, saber qual é a equação final. Logo:

s = t 3 16 + C 2

4 = 4 3 16 + C 2 ∴ C 2   = 0

Então, a equação correta é s = t 3 / 16 .

Resposta

A solução do P.V.I. é

s = t 3 16

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