Resolva a equação diferencial:

x \* dy/dx + 2y = 1 - 1/x x > 0

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, vamos dividir a equação por x , pois o coeficiente de d y d x deve ser 1. E vamos escrever d y d x como y ' . Beleza?

y ' +   2 x y =   1 x - 1 x 2

Passo 2

Vamos agora comprar com a equação diferencial:

y ' x + p x y = f ( x )

Comparando, percebemos que p x = 2 x   ; f x = 1 x - 1 x 2

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u x =   e ∫ p x d x = e ∫ 2 x d x =   e 2 l n x = e ln ⁡ x 2 = x 2

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

y ' . x 2 + x 2 . 2 x     y = x 2 .   1 x - x 2 .   1 x 2

y ' . x 2 + 2 x y = x - 1

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

d d x x 2 . y = x - 1

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

x 2 . y = ∫ ( x - 1 ) d x

x 2 . y =   x 2 2 - x + c

y = 1 2 - 1 x +   c x 2   x > 0

Resposta

y = 1 2 - 1 x +   c x 2   x > 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados