Enunciado

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 91-112.

Passo 1

Como o enunciado nos dá uma equação diferencial de 3ª ordem, deve-se fazer a integral da mesma três vezes e, no resultado de cada uma delas, aplicar os valores de condição inicial para encontrar o valor das constantes que irão surgir no resultado de cada integral indefinida.

O resultado da terceira integral irá nos dar a função primitiva da derivada de terceira ordem e na qual podemos substituir os últimos valores da condição inicial a fim de encontrarmos a equação desejada.

Passo 2

Portanto,

d 3 θ d t 3 = 0

d 2 θ d t 2 = ∫ 0 d t = C 1

Passo 3

O exercício nos dá uma condição inicial na qual diz que θ ' ' = - 2 quando t = 0 . Com esses valores é possível descobrir o valor da primeira constante e, assim, descobrir a equação que representa a segunda derivada. Logo:

d 2 θ d t 2 = C 1

- 2 =   C 1 ∴   C 1 = - 2

Então, a equação da segunda derivada é θ ' ' = - 2 .

Passo 4

Em seguida, deve-se integrar novamente para encontrar a equação da primeira derivada:

d 2 θ d t 2 = - 2

d θ d t = ∫ - 2 d t = - 2 t + C 2

Passo 5

O exercício nos dá uma segunda condição inicial na qual diz que θ ' = - 1 / 2 quando t = 0 . Com esses valores é possível descobrir o valor da segunda constante e, assim, saber qual é a equação da primeira derivada. Logo:

d θ d t = - 2 t + C 2

- 1 2 = - 2 0 + C 2 ∴ C 2   = - 1 2

Então, a equação da primeira derivada é θ ' = - 2 t - 1 / 2 .

Passo 6

E, mais uma vez, deve-se fazer a integral:

d θ d t = - 2 t - 1 2

θ = ∫ - 2 t - 1 2 d t = - t 2 - 1 2 t + C 3

Passo 7

Neste passo, aplicamos a última condição inicial na qual diz que θ = 2 quando t = 0 . Com esses valores é possível descobrir o valor da terceira constante e, assim, saber qual é a equação final. Logo:

θ = - t 2 - 1 2 t + C 3

2 = - 0 2 - 1 2 0 + C 3 ∴ C 3   = 2

Então, a equação desejada é θ = - t 2 - 1 2 t + 2 .

Resposta

A solução do P.V.I. é

θ = - t 2 - 1 2 t + 2

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