Calcule a integral ∫ e y   c o s s e c ⁡ ( e y + 1 )   d y

Passo 1

Perceba que não temos uma primitiva de cara para essa função. Então, vamos ter que usar alguma forma pra sair dessa. A ideia é usar substituição pra poder ficar com uma variável elevada a uma potência que é algo que a gente já sabe resolver, blz?

Então ,chame

  u = e y + 1   ⇒ d u = e y   d y      

Passo 2

Substituindo a mudança de variável,

  ∫ e y c o s sec ⁡ e y + 1 d y = ∫   c o s s e c   u   e y d y = ∫   c o s s e c u   d u    

Passo 3

Resolvendo a integral,

∫   c o s s e c u   d u =   ln ⁡ c o s s e c   u - c o t g   u + C    

Passo 4

Retornando a variável inicial,

∫   c o s s e c   u   e y d y = ∫   c o s s e c u   d u =   ln ⁡ c o s s e c   u - c o t g   u + C     = ln ⁡ c o s s e c e y + 1 - c o t g e y + 1 + C

Resposta

∫ e y cos sec ⁡ e y + 1 dy =   ln ⁡ c o s s e c e y + 1 - c o t g e y + 1 + C

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