Resolver o Exercício 29 para f = (x\*y^2, x^2\*y)

Passo 1

Mas o que nos pede o Exercício 29?

Calcular a integral do campo vetorial f → = ( - y , x ) ao longo dos seguintes caminhos fechados, no sentido anti-horário:

  1. Circunferência de centro na origem e raio 2;
  2. Elipse x 2 + 36 y 2 = 36 ;
  3. triângulo de vértices ( 1,1 ) , ( - 1,1 ) e ( 0 , - 1 ) ;

Passo 2

  1. Primeiro precisamos parametrizar nossa curva, o que na verdade até que é fácil, visto que nos foi dado que ela tem centro na origem e raio 2. Assim nossa parametrização no senti anti-horário será
  2. r → t = 2 cos ⁡ t ,   2 s e n   t

    Ficando assim com

    d r → t = - 2 s e n   t , 2 cos ⁡ t d t

    Como é uma superfície fechada, temos que t ∈ 0,2 π

    Precisamos resolver a seguinte integral

    ∫ A B f → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π f → r → t ⋅ d r → t

    Temos que

    f → r → t = 8 ( cos ⁡ t   s e n 2 t , s e n   t cos 2 ⁡ t )

    e

    f → r → t ⋅ d r → t = 16 cos ⁡ t   s e n 3 t + s e n   t cos 3 ⁡ t d t =

    Vamos simplificar nossa função

    cos ⁡ t   s e n 3 t + s e n   t cos 3 ⁡ t = ( cos ⁡ t   s e n   t ) ( cos 2 ⁡ t - s e n 2 t )

    s e n 2 t 2 cos ⁡ 2 t = s e n 4 t 4

    Assim teremos que

    f → r → t ⋅ d r → t = 4   s e n ( 4 t )

    Onde já podemos adiantar que a integral tanto de seno quanto do cosseno entre 0 e 2 π é nulo, logo temos

    ∫ 0 2 π 4   s e n ( 4 t ) d t = 0

    Passo 3

  3. Primeiro precisamos parametrizar nossa curva. Primeiro vamos resumir a equação da nossa elipse a
  4. x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

    Assim teremos

    x 6 2 + y 2 = 1

    Dessa forma podemos parametrizar nossa curva da seguinte maneira

    r → t = 6 cos ⁡ t ,   s e n   t

    Ficando assim com

    d r → t = - 6 s e n   t , cos ⁡ t d t

    Como é uma superfície fechada, temos que t ∈ 0,2 π

    Precisamos resolver a seguinte integral

    ∫ A B f → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π f → r → t ⋅ d r → t

    Temos que

    f → r → t = ( 6 cos ⁡ t   s e n 2 t , 36   s e n   t cos 2 ⁡ t )

    e

    f → r → t ⋅ d r → t = 36 cos ⁡ t   s e n 3 t + s e n   t cos 3 ⁡ t d t =

    Vamos simplificar nossa função

    cos ⁡ t   s e n 3 t + s e n   t cos 3 ⁡ t = ( cos ⁡ t   s e n   t ) ( cos 2 ⁡ t - s e n 2 t )

    s e n 2 t 2 cos ⁡ 2 t = s e n 4 t 4

    Assim teremos que

    f → r → t ⋅ d r → t = 9   s e n ( 4 t )

    Onde já podemos adiantar que a integral tanto de seno quanto do cosseno entre 0 e 2 π é nulo, logo temos

    ∫ 0 2 π 9   s e n ( 4 t ) d t = 0

    Passo 4

  5. Dos nossos segmentos, seguem as seguintes parametrizações respectivamente

r → 1 t = 1 - t , 1 ,   t ∈ 0,2

r → 2 t = - 1 + t , 1 - 2 t ,   t ∈ 0,1

r → 3 t = t , - 1 + 2 t ,   t ∈ 0,1

E assim ficamos com

f → r → 1 t ⋅ d r → 1 = 1 - t , 1 - 2 t 2 ⋅ - d t , 0 =

= t - 1 d t

f → r → 2 t ⋅ d r → 2 = - 1 + t 1 - 2 t 2 , - 1 + t 2 1 - 2 t ⋅ d t , - 2 d t =

= 8 t 3 - 18 t 2 + 13 t - 3 d t

f → r → 3 t ⋅ d r → 3 = t - 1 + 2 t 2 , - 1 + 2 t t 2 ⋅ d t , 2 d t =

= 8 t 3 - 6 t 2 + t d t

Assim podemos finalmente correr para nossa integral

∫ C f → r → t ⋅ d r → = ∫ 0 2 t - 1 d t + ∫ 0 1 16 t 3 - 24 t 2 + 14 t - 3 d t

= t 2 2 - t 0 2 + 4 t 4 - 8 t 3 + 7 t 2 - 3 t 0 1 = 2 - 2 + 4 - 8 + 7 - 3 = 0

Resposta

  1. 0
  2. 0
  3. 0
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