Enunciado

Responda às perguntas seguintes sobre as funções cujas derivadas são dadas:

  1. Quais são os pontos críticos
  2. Em quais intervalos f é crescente ou decrescente?
  3. Em quais pontos, se houver f assume máximos e mínimos locais?

f ' x = ( x - 2 ) ( x + 4 ) x + 1 . ( x - 3 )   x ≠ 1,3

Passo 1

Primeiro, vamos igualar f ' ( x ) a zero para encontrar os pontos críticos:

( x - 2 ) ( x + 4 ) x + 1 . ( x - 3 ) = 0

( x - 2 ) ( x + 4 ) = 0  

x - 2 = 0 x ' = 2

x + 4 = 0   →x’’=-4

No denominador, a função não está definida quando o denominador é igual a zero. Mas o denominador igualado a zero também é um ponto crítico:

x + 1 = 0 → x’’’= -1

x - 3 = 0   → x ' ' ' ' = 3

Pontos críticos: -4,-1,2 e 3

Passo 2

Agora, vamos fazer o estudo do sinal para verificar onde a função cresce e decresce. Beleza?

Logo,

f   é crescente no intervalo (-∞1, -4) U(-1,2) U(3, +∞)

f   é decrescente no intervalo (-4,-1)U (2,3)

Passo 3

No teste da primeira derivada para os extremos locais vale o seguinte:

Seja c um ponto crítico de uma função contínua f e essa função é derivável em qualquer ponto do intervalo que contenha c então:

  1. Se f ' passa de negativa a positiva em c, então f   possui mínimo local em c ;
  2. Se f ' passa de positiva a negativa em c, então f   possui máximo local em c ;
  3. Se f ' não muda de sinal em c, então f não tem extremo local em c

Assim, podemos afirmar que f assume valor máximo local quando x = - 4 e x = 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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