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A reta tangente à curva x y - x 2 = 1 no ponto x 0 , y 0 , x 0 > 0 , intercepta o eixo y no ponto B . Mostre que a área do triângulo de vértices 0,0 , x 0 , y 0 e B não depende de x 0 , y 0 .

Passo 1

Primeiramente devemos encontrar a reta tangente. Então podemos usar a fórmula:

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

Onde y 0 = f x 0 .

Para achar f ' x 0 , devemos primeiramente derivar implicitamente a função em relação a x , para isso, devemos lembrar que a derivada de y é f ' x , assim:

x y - x 2 ' = 1 '

x y ' - x 2 ' = 1 '

Derivando,

1 ⋅ y + x ⋅ y ' - 2 x = 0

y + x   y ' - 2 x = 0

Isolando y '

y ' = 2 x - y x

Lembrando que y ' = f ' x

f ' x = 2 x - y x

Assim, no ponto x 0 , y 0 , temos f ' x 0 = 2 x 0 - y 0 x 0 .

Passo 2

Retomando a fórmula y - y 0 = f ' x 0 x - x 0 , temos:

y - y 0 = 2 x 0 - y 0 x 0 x - x 0

Vamos ajeitar a equação, passando o x 0 do denominador para o outro lado multiplicando,

x 0 y - x 0 y 0 = 2 x 0 - y 0 x - x 0

Agora vamos fazer a distributiva do produto do lado esquerdo,

x 0 y - x 0 y 0 = 2 x 0 x - 2 x 0 2 - y 0 x + x 0 y 0

Ajeitando,

x 0 y + y 0 x - 2 x 0 x = - 2 x 0 2 + x 0 y 0 + x 0 y 0

Colocando x em evidência no lador direito e 2 no lado esquerdo,

x 0 y + y 0 - 2 x 0 x = 2 x 0 y 0 - 2 x 0 2

Se x 0 , y 0 pertence à curva x y - x 2 = 1 , então x 0 y 0 - 2 x 0 2 = 1 , e portanto, a equação da reta tangente será dada por:

x 0 y + y 0 - 2 x 0 x = 2

Passo 3

A reta intercepta o eixo y no ponto B , dentão devemos achar esse ponto:

Para a interseção com o eixo y temos x = 0 :

x 0 y + y 0 - 2 x 0 ⋅ 0 = 2

x 0 y = 2

y = 2 x 0

B = 0 ,   2 x 0

Passo 4

Então, temos o triângulo de vértices 0,0 , x 0 , y 0 e 0 ,   2 x 0 , e sua área pode ser calculada por:

A = 1 2 ⋅ 2 x 0 - 0 ⋅ x 0

A = 1 2 ⋅ 2 x 0 ⋅ x 0 = 1

A = 1

Logo, para qualquer x 0 , y 0 a área é 1 e, portanto, provamos que a área do triângulo não depende de x 0 , y 0 .

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