Enunciado

Retângulo de maior área em uma elipse Utilize o método

dos multiplicadores de Lagrange para encontrar as dimensões

do retângulo de maior área que pode ser inscrito na elipse

x2/16 + y2/9 = 1 com lados paralelos aos eixos coordenados

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, usaremos o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito na elipse x 2 16 + y 2 9 = 1 com os lados paralelos aos eixos de coordenadas. Acompanhe a resolução!

Passo 2

A área o retângulo é dada por:

A = ( 2 x ) ( 2 y ) = 4 x y . 

Passo 3

E a restrição pode ser descrita da seguinte forma:

g ( x , y ) = x 2 16 + y 2 9 - 1 = 0

Passo 4

Os gradientes são, portanto:

∇ A = 4 y i + 4 x j ∇ g = x 8 i + 2 y 9 j

Aplicando o método de Lagrange, temos:

∇ A = λ ∇ g 4 y i + 4 x j = λ x 8 i + 2 y 9 j 4 y = x 8 λ 4 x = 2 y 9 λ  Logo: 

λ = 32 y x  e  4 x = 2 y 9 32 y x

Fazendo a substituição de λ = 32 y x em 4 x = 2 y 9 32 y x , encontramos que:

y = ± 3 4 x .

Voltando os valores encontrados em x 2 16 + y 2 9 = 1 temos:

x 2 16 + ± 3 4 x 2 0 = 1 x 2 = ± 2 2

x = 2 2 (distância sempre é positiva).E y será:

y = 3 4 ( 2 2 ) = 3 2 2

Portanto, o comprimento é então 2 x = 4 2 , e a largura é 2 y = 3 2 .

Resposta

Resposta nos passos.

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Determine os valores extremos de f na região descrita pela desigualdade f x , y = x 2 + y 2 + 4 x - 4 y ;x 2 + y 2 ≤ 9
Considere o problema de minimizar a função f x ,y = x na curva y 2 + x 4 - x 3 = 0 (uma piriforme).(a) Tente utilizar multiplicadores de Lagrange para resolver este problema.(b) Mostre que o valor mín