Enunciado

Maximizando uma função de utilidade: um exemplo da

economia Na economia, a utilidade das quantidades x e y

de dois bens capitais G1 e G2 é algumas vezes medida por uma

função U(x, y). Por exemplo, G1 e G2 poderiam ser duas substâncias químicas que uma empresa farmacêutica necessita ter

em mãos e U(x, y), o ganho a partir da fabricação de um produto cuja síntese requer diferentes quantidades das substâncias químicas, dependendo do processo utilizado. Se G1 custa

a dólares por quilo, G2 custa b dólares por quilo e a quantidade

total alocada para a aquisição de G1 e G2 juntos é c dólares, então os diretores da empresa querem maximizar U ( x , y ) , dado que a x + b y = c . Dessa forma, eles precisam resolver um problema típico de multiplicadores de Lagrange.Suponha que

U ( x , y ) = x y + 2 x

e que a equação a x + b y = c seja simplificada para

2 x + y = 30 . 

Encontre o valor máximo de U e os valores correspondentes de x e y sujeitos a essa última restrição.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, suponha que U ( x , y ) = x y + 2 x e a equação a x + b y = c simplifica em 2 x + y = 30 . Qual é o valor máximo de U ( x , y ) e quais os valores de x e y sujeitos a essas restrições? Vamos lá!

Passo 2

Começaremos encontrando os gradientes para as funções, e então aplicaremos o método dos multiplicadores de Lagrange, veja:

∇ U = ( y + 2 ) i + x j ∇ g = 2 i + j

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange teremos:

∇ U = λ ∇ g   ( y + 2 ) i + x j = λ ( 2 i + j ) .

Separando as componentes:

y + 2 = 2 λ x = λ

Passo 3

Assim, observamos que:

y + 2 = 2 x y = 2 x - 2

Voltando, novamente, ao valor de y encontrado em 2 x + y = 30 , chegamos a:

2 x + ( 2 x - 2 ) = 30

x = 8 , levando a y = 14 .

Resposta

Portanto, o valor da função U ( 8,14 ) = $ 128 é o máximo valor possivel de ser assumido com as restrições impostas.

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