Enunciado

Encontre o comprimento da curva para 4 casas decimais. (Use uma calculadora para aproximar a integral.)

r → t = cos ⁡ π t , 2 t , s e n ⁡ 2 π t ,       p a r a   1,0 , 0   a t é   ( 1,4 , 0 )

Passo 1

O comprimento de uma curva é dado pela seguinte relação:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Passo 2

Para a nossa curva, temos:

x = cos ⁡ π t ,   y = 2 t   e   z = s e n ⁡ 2 π t

Os limites de integração a e b corresponde aos valores de t no qual obtemos os pontos ( 1,0 , 0 ) e ( 1,4 , 0 ) .

Para t = 0 , obtemos:

x = cos ⁡ 0 = 1 ,   y = 0   e   z = s e n ⁡ 0 = 0

Para t = 2 , obtemos:

x = cos ⁡ 2 π = 1 ,   y = 4   e   z = s e n ⁡ 4 π = 0

Desta forma os limites de integração são:

a = 0   e   b = 2

Passo 3

Calculando as derivadas que estão dentro da raíz na integral:

d x d t = - π s e n ⁡ π t

d y d t = 2

d z d t = 2 π cos ⁡ 2 π t

Passo 4

Portanto o comprimento da curva é:

L = ∫ 0 2 - π s e n ⁡ π t 2 + 2 2 + 2 π cos ⁡ 2 π t 2 d t = ∫ 0 2 π 2 s e n 2 ⁡ π t + 4 + 4 π 2 cos 2 ⁡ 2 π t   d t

L ≈ 10,3311

Resposta

L ≈ 10,3311

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