Enunciado

Pela ruptura de um navio-tanque, uma mancha de óleo espalha-se em forma de um círculo cuja área cresce a uma taxa constante de 6 k m 2 h . Com que rapidez estará crescendo o raio da mancha quando a área for de 9   k m 2 ?

Passo 1

Já que a mancha é circular, para relacionar o raio com a área, podemos simplesmente escrever a fórmula da área do círculo:

A = π R 2

Agora partiu derivar, pra saber como as taxas de variação se relacionam:

d A d t = d d t π R 2 = π d R 2 d t

Pela Regra da Cadeia:

d A d t = π ( R 2 ) ' d R d t

d A d t = 2 π R d R d t

Passo 2

Como ele falou que a área cresce a uma taxa de 6   k m 2 / h , então d A d t = 6 .

Pra sabermos a rapidez com que o raio cresce, olhando pra nossa fórmula precisaríamos saber o raio, mas só temos que A = 9   k m 2 , então:

A = π R 2

9 = π R 2           ⇒           R = 3 π

Agora substituindo esses dados na expressão que encontramos fica assim:

d A d t = 2 π R d R d t

6 = 2 π ( 3 π ) d R d t

d R d t   =   π π k m / h = 1 π   k m / h

Resposta

1 π k m h

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