Enunciado

Trigo está saindo através de uma calha de escoamento a uma taxa de 10   p é s 3 / m i n e caindo em uma pilha cônica cujo raio da base é sempre a metade da altura. Com que rapidez estará aumentando a circunferência da base quando a altura da pilha for de 8   p é s ?

Passo 1

Como o enunciado fala que o raio da base é sempre a metade da altura ( r = h /   2 ), isso nos dá uma informação muito maneira. Olha só pra tangente do ângulo θ :

tan ⁡ θ = r h = h / 2 h = 1 2

Isso significa que o ângulo θ é constante.

Passo 2

Mas como podemos relacionar os dados de taxa de escoamento com a variação do raio e da altura? Pra isso podemos usar a fórmula de volume do cone:

V = 1 3   π r 2 h

A taxa de escoamento nada mais é do que a velocidade com que a pilha de trigo está sendo formada, ou seja, a velocidade de formação desse cone ( d V / d t )

d V d t =   10   p é s 3 / m i n  

Já que nessa questão não vamos nos preocupar em saber a taxa com que a altura do cone cresce, podemos substituir dentro da expressão do volume que:

  r = h 2                     ⇒                           h = 2 r      

Fazendo isso ficamos com:

V = 1 3   π r 2 h

V = 1 3   π r 2 ( 2 r )

V = 2 π 3 r 3

Passo 3

Agora pra relacionarmos as taxas de crescimento desses caras, podemos derivar em relação ao tempo a expressão do volume:

d V d t = d d t 2 π 3 r 3 = 2 π 3 d r 3 d t

Pela regra da cadeira:

d V d t = 2 π 3 d r 3 d r d r d t

d V d t = 2 π 3 3 r 2   d r d t

Chegamos que:

d V d t = 2 π r 2   d r d t               e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 4

Usando que:

d V d t =   10   p é s 3 / m i n  

E se h = 8   p é s naquele instante, então r = 4   p é s :

Substituindo na equação (1):

d V d t = 2 π r 2   d r d t              

10 = 2 π 4 2   d r d t

5 = 16 π   d r d t

d r d t = 5 16 π   p é s / m i n      

Passo 5

Agora vamos pro último passo. O enunciado pergunta com que rapidez com que está aumentando a circunferência da base, ou seja, o quão rápido a área da base aumenta ( d A / d t ).

Para a base do cone, podemos escrever sua área como sendo:

A = π r 2

Derivando em relação ao tempo essa expressão:

d A d t = d d t π r 2 = π d r 2 d t

Pela regra da cadeia:

d A d t = 2 π r d r d t

Mas achamos ali em cima que d r d t = 5 16 π   p é s / m i n .   E além disso r = 4   p é s . Então

d A d t = 2 π ( 4 ) 5 16 π

d A d t = 5 2   p e s 2 / m i n

Resposta

5 2   p e s 2 / m i n

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