Enunciado

Nos problemas 15-22, determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em - ∞ ,   ∞ .

17. f 1 x = 5 ,   f 2 x = c o s 2 x ,   f 3 x = s e n 2 x

Passo 1

Então galera, para essas questões 15-22 devemos levar em consideração dois teoremas, assim como visto no capítulo em questão, que são:

4.1 . Dizemos que um conjunto de funções f 1 x ,   f 2 x … f n x é linearmente dependente em um intervalo I se existem constantes NÃO TODAS nulas, tais que:

c 1 f 1 x + c 2 f 2 x + … + c n f 2 x = 0

4.2 . Dizemos que um conjunto de funções f 1 x ,   f 2 x … f n x é linearmente independente em um intervalo I se TODAS as constantes são nulas, tais que:

c 1 f 1 x + c 2 f 2 x + … + c n f 2 x = 0

Entendo que esses teoremas parecem complicados, mas resolvendo uma questão vai facilitar a visualização e compreensão, ok? Então bora lá!

Passo 2

Temos as seguintes funções:

f 1 x = 5 ,   f 2 x = c o s 2 x ,   f 3 x = s e n 2 x

E temos que ter o seguinte:

c 1 f 1 x + c 2 f 2 x + … + c n f 2 x = 0

Substituindo, teremos:

c 1 5 + c 2 c o s 2 x + c 3 s e n 2 x = 0

A pergunta que temos que fazer é a seguinte: as constantes precisam ser nulas ou não para o resultado dar 0? Se fizermos c 1 = - 1 5 ,   c 2 = 1   e   c 3 = 1 , teremos:

- 1 5 . 5 + 1 c o s 2 x + 1 s e n 2 x = 0

c o s 2 x + s e n 2 x = 1

1 = 1

Logo, de acordo com o que discutimos no passo 1 , temos que as funções são linearmente DEPENDENTES em - ∞ ,   ∞ .

Resposta

As funções são linearmente dependentes em - ∞ ,   ∞ .

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Nos problemas 23-28, mostre, calculando o Wronskiano, que as funções dadas são linearmente independentes no intervalo indicado. tg ⁡ x ,   c ot ⁡ x ;     ( 0 , π 2 )
Nos problemas 15-22, determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em - ∞ ,   ∞ . f 1 x = 1 + x ;   f 2 x = x ;   f 3 x = x 2