Enunciado

Sabe-se que r é uma reta perpendicular à reta 3 x + y = 3 e tangente ao gráfico de f x = x 3 .

Determine r .

Passo 1

Devemos lembrar que a reta tangente a uma curva em x 0 possui o coeficiente angular igual a derivada da função em x 0 .

Quando duas retas são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares é igual a - 1 e para achar o coeficiente angular da reta dada, devemos isolar o y e observar o termo que multiplica x (este será o coeficiente angular)

3 x + y = 3

y = - 3 x + 3

y = - 3 x + 3 2

Assim:

f ' x 0 ⋅ - 3 = - 1

f ' x 0 = 1 3

Se f x = x 3 , sua derivada é dada por:

f ' x = 3 x 2

Passo 2

Assim:

3 x 0 2 = 1 3

x 0 2 = 1 9

x 0 = ± 1 3

Se temos dois possíveis valores para x 0 , teremos duas possíveis retas tangentes.

Temos que:

f 1 3 = 1 3 3 = 1 27

f 1 3 = 1 27

E também:

f - 1 3 = - 1 3 3 = - 1 27

f - 1 3 = - 1 27

Passo 3

Podemos aplicar esses valores na fórmula da reta tangente, ou seja:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Para x 0 = 1 3 , temos: y - 1 27 = 1 3 x - 1 3

y = 1 3 x - 1 9 + 1 27

y = 1 3 x - 2 27

Para x 0 = - 1 3 , temos: y + 1 27 = 1 3 x + 1 3

y = 1 3 x + 1 9 - 1 27

y = 1 3 x + 2 27

Logo, as possíveis equações de r podem ser y = 1 3 x - 2 27 ou y = 1 3 x + 2 27 .

Resposta

r pode ser y = 1 3 x - 2 27 ou y = 1 3 x + 2 27 .

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