Enunciado

São dados uma função f e os números n, a e b. Aproxime até quatro casas decimais a área da região limitada pela curva y = f x , pelo eixo x e as retas x = a e x = b fazendo o seguinte: divida o intervalo [a, b] em n subintervalos de Δ x unidades de largura.

f x = s e n ( x ) , a = π / 6 , b = 5 π 6 , n = 8 , retângulos inscritos.

Passo 1

A questão nos pede para calcular a área cinza, limitada pelas três curvas e o eixo x:

Devemos então, conforme pedido, utilizar retângulos inscritos na região para realizar o cálculo.

Passo 2

É importante observar que a curva muda de concavidade no ponto x = π 2 . Desta maneira, devemos dividir nosso cálculo da área em duas partes.

Como a nossa curva é crescente até o ponto x = π 2 , o valor mínimo absoluto estará no canto esquerdo dos subintervalos. Ou seja, para a primeira parte do cálculo da área usaremos f x i - 1 .

E como a função é decrescente na segunda parte da curva, então o mínimo absoluto ficará no canto direito dos nossos subintervalos, ou seja, ou seja, usaremos f ( x i ) na segunda parte do cálculo.

Temos que:

A =   ∑ i = 1 n = 4 Δ x   f x i - 1 +   ∑ i = 5 n = 8 Δ x   f x i

Sendo que:

Δ x = b - a n = 5 π 6 - π 6 8 = π 12

Δ x = 0,2618

Isto é, cada um dos 8 retângulos inscritos possui 0,2618 de largura.

Passo 3

Podemos então calcular cada um dos x i e x i - 1 que serão utilizados no cálculo, e também seus f ( x i ) e f ( x i - 1 ) correspondentes.

Não esqueça de passar a sua calculadora para radiano! 😉

x i = a + ( i * Δ x )

x i - 1 = a + [ ( i - 1 ) * Δ x ]  

f x i = s e n ( x i )

f x i - 1 = s e n ( x i - 1 )

Podemos então calcular a área desejada:

A 1 =   ∑ i = 1 n = 4 Δ x   f x i - 1

A 1 =   Δ x   ∑ i = 1 n = 4   f x i - 1

A 1 =   Δ x * ( f x 0 + f x 1 + f x 2 + f x 3 )

A 1 =   0,2618 * 3,0391

A 1 =   0,7956

A 2 =   ∑ i = 5 n = 8 Δ x   f x i

A 2 =   Δ x * ( f x 5 + f x 6 + f x 7 + f x 8 )

A 2 =   0,2618 * 3,0390

A 2 = 0,7956

Resposta

E por fim, a área total será a soma destas duas áreas que calculamos!

A = A 1 + A 2

A = 0,7956 + 0,7956

A = 1,5912

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