a) ∫ t g 5 x sec 2 ⁡ x d x  

Passo 1

I = ∫ t g 5 x sec 2 ⁡ x d x

A estratégia nessa questão será fazer uma substituição de variável. Podemos chamar u de t g x ou de s e c ⁡ ( x ) , mas o que vai nos ajudar é o primeiro. Olha só:

u = t g x       ( * )

Derivando,

d u = sec 2 ⁡ x d x

Viu que quando derivamos apareceu o termo que ta na nossa integral?!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Nossa integral era o seguinte:

I = ∫ t g 5 x sec 2 ⁡ x d x

Indo para a variável u , temos:

I = ∫ u 5 d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 3

Agora é só terminar!

I = ∫ u 5 d u = u 5 + 1 5 + 1 + c

Atenção: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Fazendo as contas:

I = u 6 6 + c

Voltando para a variável t g ( x ) :

I = t g 6 x 6 + c

Resposta

t g 6 x 6 + c

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