Enunciado

Segue da Lei de Coulomb da Física, que duas cargas eletrostáticas iguais repelem-se entre si com uma força inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Suponha que duas cargas A e B repelem-se com uma força de k   N , quando localizadas nos pontos A ( - a , 0 ) e B ( a , 0 ) , onde a está medido em metros. Encontre o trabalho W necessário para mover a carga A ao longo do eixo x até a origem se a carga B ficar onde está.

Passo 1

O que ele quer dizer é que temos essa expressão para a força exercida em uma carga por outra de mesmo sinal nas redondezas:

F ≈ c d 2

E ele quer saber o trabalho realizado para aproximar essas cargas. Se tem uma aproximação, há aumento da força entre elas, porque a distância diminui. Logo temos uma força variável e o trabalho é dado por:

W = ∫ a b F x d x

A gente só precisa montar essa expressão aí para encontrar o trabalho. Vamo que vamo!

Passo 2

Vamos achar os nossos extremos de integração. A gente quer mover a carga de ( - a , 0 ) para ( 0,0 ) . Então podemos dizer:

- a < x < 0

Passo 3

Precisamos montar nossa expressão de F ( x ) para esse caso específico. Sabemos que ela tem essa cara:

F ≈ c d 2

Quem vai ser d ? A distância entre as duas cargas que vai variar com x . Queremos a distância entre o ponto A x ( x , 0 ) e o ponto B ( a , 0 ) a gente pode escrever:

d = a - x

Belezinha?

E aí nossa força fica:

F ≈ c ( a - x ) 2

Mas quem é essa constante c ? A gente pode usar a primeira situação que ele deu: F a b = k   N

A - a , 0 ,   B a , 0

d a b = 2 a

F a b = k = c 4 a 2 ∴ c = 4 k a 2

Passo 4

Só montar e calcular a integral agora.

W = ∫ - a 0 4 k a 2 a - x 2   d x = 2 k a   J

Usando uma substituição simples, como u = a - x :

W = 2 k a   J

Resposta

W = 2 k a   J

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