Enunciado

Use o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido obtido com a rotação em torno do eixo y das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

y = 3 2 x       y = 0 ; x = 1 ; x = 4

Passo 1

Usamos o método da casca cilíndrica para calcular volumes de sólidos de revolução, ou seja, sólidos obtidos pela rotação de uma figura em torno de um eixo.

Podemos integras de x = a a x = b e obteremos o volume fazendo:

V =   ∫ a b 2 π x   f x d x

O enunciado nos fornece f x =   3 2 x = 3 2 x - 1 / 2 . Nos intervalos, y = 0 ; x = 1 ; x = 4 . O que pode ser ilustrado pela imagem abaixo:

Vamos substituir na fórmula:

V =   ∫ 1 4 2 π x   3 2 x - 1 / 2 d x

= 3 π ∫ 1 4 x 1 2 d x = 3 π 2 3 x 3 2 4 1 = 2 π 4 3 2 - 1 = 2 π 8 - 1 = 14 π  

Resposta

14 π

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