Enunciado

Demonstre que quando x → ∞ , e x cresce mais rapidamente que x 2 para qualquer inteiro positivo, até mesmo x 1.000.000 . Dica: qual é enésima derivada de x n ?  

Passo 1

Galera, queremos demonstrar que , e x cresce mais rapidamente que x 2 quando x → ∞ . Para isso, vamos calcular o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ x n e x

Para encontrar esse limite precisamos da regra de L´Hospital. Mas como ficaria a n-ésima derivada de x n ?  

Observe:

d d x   x n = n x n - 1

d 2 d x x n =   n n - 1 x n - 2

d 3 d x x n = n n - 1 n - 2 x n - 3

Fazendo esse processo sucessivamente temos que a n-ésima derivada de x n é:

d n d x x n = n !

Passo 2

Voltando para o cálculo do limite, temos:

lim x → ∞ ⁡ x n e x =   lim x → ∞ ⁡ x ! e x = 0

Para qualquer inteiro não negativo n.

Concluímos que e x cresce mais rapidamente que x 2 para qualquer inteiro positivo, até mesmo x 1.000.000 quando x → ∞

Resposta

Questão de demonstração

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