Quais das seguintes identidades são válidas?

  1. ∑ i = 1 n a i b i =   ∑ i = 1 n a i ⋅ ∑ i = 1 n b i
  2. ∑ i = 1 n a i 2 = ( ∑ i = 1 n a i ) 2
  3. ∑ i = 1 n a i b i = ∑ i = 1 n a i ∑ i = 1 n b i
  4. ∑ i = 1 n a i =   ∑ j = 0 n - 1 a j + 1

Passo 1

Falaa aí, tudo bem?

Vamos expandir esses somatórios dos dois lados pra ver se isso é verdadeiro ou não...

  1. Olha só, fica assim:
  2. a 1 b i + a 2 b 2 + … + a n b n = a 1 + a 2 + … + a n   b 1 + b 2 + … + b n

    Bom, pela regra da distributiva na multiplicação a gente sabe que não é bem assim né?!

    Isso aí não é igual! Então essa não é válida!

    Passo 2

  3. Bora fazer a mesma coisa nessa outra aqui:
  4. a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 = a 1 + a 2 + … + a n 2

    Novamente, a gente sabe que não é assim. Essa igualdade é falsa!

    Passo 3

  5. Vamos ver essa outra:
  6. a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n = a 1 + a 2 + … + a n b 1 + b 2 + … + b n

    Essa também não é válida 😢

    A gente não pode fazer essa separação no denominador não...

    Passo 4

  7. A última chance de ser válida vem agora. Vamos ver, é só a gente montar os somatórios (presta atenção nos índices do segundo):

a 1 + a 2 + … + a n = a 1 + a 2 + … + a n

Finalmente uma válida!

E aqui finalizamos mais uma 😜

Resposta

Só a d é válida.

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