Enunciado

48. Seja g x = s g n sin ⁡ x

  1. Determine cada um dos seguintes limites ou explique por que ele não existe.
    1. lim x → 0 + ⁡ g ( x )
    2. lim x → 0 - ⁡ g ( x )
    3. lim x → 0   ⁡ g ( x )
    4. lim x → π + ⁡ g ( x )
    5. lim x → π - ⁡ g ( x )
    6. lim x → π   ⁡ g ( x )
  2. Para quais valores de a o limite lim x → a ⁡ g x   não existe?
  3. Esboçe o gráfico de g .

Passo 1

Muito bom galerinha, primeiro de tudo aqui, a gente quer informações da função s g n sin ⁡ x , só que essa função é meio diferente do normal, ela define valores fixos de acordo com o domínio. Mas calma lá chefia, que a coisa não tá tão feia assim, se liga só, a função s g n ( x ) é definida por

s g n x = - 1 ,   s e   x < 0 0 ,   s e   x = 0 1 ,   s e   x > 0

Só que a malandragem aqui é que o domínio está restrito aos valores de x , e na nossa função o domínio está definido por outra função, sin ⁡ x , já que a função é s g n sin ⁡ x , portanto podemos expressar a função como:

s g n sin ⁡ x = - 1 ,   s e sin ⁡ x < 0 0 ,   s e   sin ⁡ x = 0 1 ,   s e   sin ⁡ x > 0

Mó legal né?! HUEHEUE agora que a gente já tem a função definida, podemos analisar os limites, bora lá.

Passo 2

Belezoca galera, dado que a função é

s g n sin ⁡ x = - 1 ,   s e sin ⁡ x < 0 0 ,   s e   sin ⁡ x = 0 1 ,   s e   sin ⁡ x > 0

Na letra (a) vamos analisar cada limite individualmente.

  1. lim x → 0 + ⁡ g ( x )
  2. Quando o x tende a 0 pela direita, isto é, com 0 + temos valores maiores do que 0 x > 0 , o que nos retorna

    sin   ⁡ 0 + > 0

    E de acordo com a função que definimos, temos então

    lim x → 0 + ⁡ g ( x ) = 1

  3. lim x → 0 - ⁡ g ( x )
  4. Agora, estamos com x tendendo a zero pela esquerda, com 0 - temos valores menores do que 0 ( x < 0 ) , daí a gente tira que

    sin ⁡ 0 - < 0

    E de acordo com s g n sin ⁡ x , temos que

    lim x → 0 - ⁡ g ( x ) = - 1

  5. lim x → 0   ⁡ g ( x )
  6. Agora, queremos ver como a fun�o se comporta quando o limite tende 0 , dessa forma temos x = 0 , o que retorna pra gente que

    sin ⁡ 0 = 0

    E ai a gente vai lá na função e olha a respot...ERRADO!!! Não podemos de maneira alguma cair nessa tentação, a definição de limite exige que os limites laterais tendendo pela direita e pela esquerda do ponto coincidam, isto é, para que o limite da função quando x tende a 0 exista é obrigatório que:

    lim x → 0 + ⁡ g ( x ) = lim x → 0 - ⁡ g ( x )

    Mas como vimos em (i) e em (ii), temos que lim x → 0 + ⁡ g ( x ) = 1 e lim x → 0 - ⁡ g ( x ) = - 1 . Logo, eles não coincidem e por este motivo o limite não existe.

    lim x → 0   ⁡ g ( x ) = ∄

  7. lim x → π + ⁡ g ( x )
  8. Agora, o limite é para x → π + , temos então que:

    sin ⁡ π + < 0

    E a fun��ão retorna pra gente que:

    lim x → π + ⁡ g ( x ) = - 1

  9. lim x → π - ⁡ g ( x )
  10. E aqui galerinha, temos o mesmo ponto, só que agora ele tende a π pela esquerda, x → π -

    sin ⁡ π - > 0

    E s g n ( sin ⁡ x ) retorna pra gente que

    lim x → π - ⁡ g ( x ) = 1

  11. lim x → π   ⁡ g ( x )

Novamente, os limites laterais de (iv) e de (v) divergem, fazendo com que o nosso limite não exista.

lim x → π   ⁡ g ( x ) = ∄

Passo 3

Na letra (b), os valores para os quais o limite não existe, são justamente aqueles em que a função sin ⁡ ( x ) troca de sinal, isto é, nos ponto em que a função troca de negativa para positiva e vice versa. Pra ficar mais bonitinho, a gente pode falar que esses pontos são todos os valores de x quando

sin ⁡ x = 0

Podemos escrever esses valores da seguinte forma

x ∈ R x = k π ,   k ∈ Z

Passo 4

E agora o gráfico, como a função sin ⁡ x é uma função periódica, a função s g n ( sin ⁡ x ) tem toda a cara de que será também, então dado

s g n sin ⁡ x = - 1 ,   s e sin ⁡ x < 0 0 ,   s e   sin ⁡ x = 0 1 ,   s e   sin ⁡ x > 0

Pegando valor a valor, podemos traçar o gráfico que fica como

Agora ficou maneiro heim meu patrão.

Resposta

  1. (i) lim x → 0 + ⁡ g ( x ) = 1

    (ii) lim x → 0 - ⁡ g ( x ) = - 1

    (iii) lim x → 0   ⁡ g ( x ) = ∄

    (iv) lim x → π + ⁡ g ( x ) = - 1

    (v) lim x → π - ⁡ g ( x ) = 1

    (vi) lim x → π   ⁡ g ( x ) = ∄

  2. x ∈ R x = k π ,   k ∈ Z

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Dado que lim x → 2 ⁡ 5 x - 7 = 3 ilustre a Definição 2 encontrando valores de δ que correspondam a ε = 0,1 , ε = 0,05 e ε = 0,01 .
Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite. lim x → 9 - ⁡ 9 - x 4 = 0
Demonstre, usando a definição 6, que lim x → - 3 ⁡ 1 x + 3 4 = ∞