Enunciado

Seja f x = a x 3 + b x 2 + c x + d , a ≠ 0 . Prove que f admite um único ponto de inflexão.

Passo 1

Primeiramente, vamos obter a derivada segunda f ' ' da função f :

f ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c + 0

f ' ' x = 6 a x + 2 b

Agora, vamos encontrar os candidatos a ponto de inflexão, igualando a derivada segunda a zero:

f ' ' x = 0

6 a x + 2 b = 0

x = - b 3 a

Passo 2

Ou seja, só encontramos um candidato a ponto de inflexão, x = - b 3 a .

E se a gente analisar o sinal da derivada segunda nos intervalos - ∞ ,   - b 3 a e - b 3 a ,   + ∞ , vamos ver que elas têm sinais contrários.

Logo, x = - b 3 a é o único ponto de inflexão da função f .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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