Enunciado

Se f x = x 2 + a 2 p onde p é um número racional e p ≠ 0 , prove que se p < 1 2 , o gráfico de f terá dois pontos de inflexão e se p ≥ 1 2 , o gráfico de f não terá pontos de inflexão.

Passo 1

Então pessoal, sempre que uma questão falar de pontos de inflexão, obrigatoriamente temos que descobrir a derivada segunda da função, ok? Vamos derivar duas vezes a função f ( x ) para deixar no esquema seus resultados, aí facilita bastante nosso raciocínio, ok? Para f ' ( x ) , temos:

f ' x = p . x 2 + a 2 p - 1 . ( 2 x )

Note que a regra utilizada aqui foi a regra da cadeia, ok? Simplificando, teremos:

f ' x = 2 p x x 2 + a 2 p - 1

Derivando novamente utilizando a regra da cadeia juntamente com a regra do produto, para f ' ' ( x ) teremos:

f ' ' x = 2 p x 2 + a 2 p - 1 + 4 p . p - 1 . x ² x 2 + a 2 p - 2

f ' ' x = 2 p x 2 + a 2 p - 2 [ x 2 + a 2 + 2 x 2 p - 1 ]

Simplificando, teremos:

f ' ' x = 2 p x 2 + a 2 p - 2 a 2 - 1 - 2 p x 2

Ahhh, mas por que você escreveu essa f ' ' ( x ) dessa forma? Calma que já vai fazer sentido, prometo!

Passo 2

De acordo com o Leithold, galera, um ponto qualquer só será um ponto de inflexão se o gráfico tiver nele uma reta tangente! Ademais, só conseguiremos analisar se o ponto é, de fato, um ponto de inflexão se analisarmos o sinal da derivada segunda de acordo com os intervalos de p que a questão deu. Tá confuso? Vamos clarear isso aí, se liga! Para p ≥ 1 2 , temos:

p ≥ 1 2 ⇒ 1 - 2 p ≤ 0

Como essa seta de implica está correta? Saca só:

( 1 - 2 p ) ≤ 0

1 ≤ 2 p   ⇒ p ≥ 1 2

Que é exatamente a restrição dada pelo enunciado! Se   ( 1 - 2 p ) ≤ 0 , então a equação de f ' ' ( x ) será positiva, galera! Quando a derivada segunda existe em um ponto qualquer de inflexão, então a derivada segunda deverá ser zero nesse ponto! Sendo assim, concluímos que, de fato, se p ≥ 1 2 , então o gráfico de f ( x ) não terá pontos de inflexão.

Passo 3

Como a segunda hipótese se trata da existência de pontos de inflexão, então temos que a derivada segunda nesse ponto tem que ser zero, ou seja, f ' ' x = 0 . Substituindo f ' ' ( x ) , teremos:

f ' ' x = 2 p x 2 + a 2 p - 2 a 2 - 1 - 2 p x 2 = 0

a 2 - 1 - 2 p x 2 = 0   ⇒ a 2 = 1 - 2 p x 2

x 2 = a 2 ( 1 - 2 p ) ⇒ x = ±   a 2 ( 1 - 2 p )

Agora que encontramos os possíveis pontos de inflexão, galera, teremos que conferir se antes e depois desses pontos, a concavidade do gráfico se altera. Para os valores da raíz, sabemos que a derivada segunda dá zero, portanto:

x = x 1 ⇒ f ' ' x = 0

x = x 2 ⇒ f ' ' x = 0

Esses são os pontos de inflexão! Mas po, e os pontos que vêm antes e depois de x 1 e os pontos que vêm antes e depois de x 2 ? Como x 1 é negativo, galera, para x < x 1 , f ' ' x = p o s i t i v o . Para x 1 < x < x 2 , temos que f ' ' x = n e g a t i v o . Para x > x 2 , temos que f ' ' x = p o s i t i v o .

Para chegar nessa conclusões, basta pensar em valores dentro do intervalo e substituir em f ' ' ( x ) , galera, assim como manda o manual do estudo de funções, beleza? Para facilitar a visualização, se montarmos uma tabela, teremos:

Note que inicialmente a concavidade é voltada para cima, depois há um ponto de inflexão (mudança de concavidade) e a mesma se volta para baixo. Em seguida, há mais um ponto de inflexão e concavidade volta a ser para cima. Sendo assim, fica provado que, de fato, o gráfico de f ( x ) tem dois pontos de inflexão quando p < 1 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios de 17 a 24, ache o ponto de inflexão do gráfico da função dada, se existir. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico. 2 4
Se f x = a x ³ + b x ² + c x , ³ ² determine a ,bec , de forma que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em (1, 2) e que a inclinação da reta tangente no ponto de inflexão seja -2.
Nos Exercícios de 29 a 31: Ache os pontos de inflexão do gráfico da função trigonométrica dada; Ache a inclinação das retas tangentes nos pontos de inflexão;Faça um esboço do gráfico da função num int
Nos Exercícios de 29 a 31: Ache os pontos de inflexão do gráfico da função trigonométrica dada; Ache a inclinação das retas tangentes nos pontos de inflexão;Faça um esboço do gráfico da função num int
Nos Exercícios de 29 a 31: Ache os pontos de inflexão do gráfico da função trigonométrica dada; Ache a inclinação das retas tangentes nos pontos de inflexão;Faça um esboço do gráfico da função num int