Enunciado

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Seja f x = x 3 - x 2 - x . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é uma função polinomial, logo é contínua e derivável para todo x real. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 3 x 2 - 2 x - 1

Como f ' ( x ) existe para todos valores de x , os pontos críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

3 x 2 - 2 x - 1 = 0 ⇒

x = - - 2 ± - 2 2 - 4 3 - 1 2 ( 3 ) ⇒

x = 2 ± 4 + 12 6 ⇒

x = 2 ± 16 6 ⇒

x = 2 ± 4 6

Logo:

x = 2 + 4 6 = 1

Ou:

x = 2 - 4 6 = - 2 6 = - 1 3

Assim os pontos críticos de f ocorrem quando x = 1 ou x = - 1 3 .

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo em x = 1 ou x = - 1 3 devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:

→ x < - 1 3 :

f ' x > 0 e f é crescente.

→ - 1 3 < x < 1 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ x > 1 :

f ' x > 0 e f é crescente.

Logo, pelo teste da primeira derivada, em x = - 1 3 temos um ponto de máximo relativo e em x = 1 temos um ponto de mínimo relativo de f .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = x 3 - x 2 - x . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = x 3 - x 2 - x é crescente no intervalo ( - ∞ ,   - 1 3 ) e ( 1 ,   + ∞ ) , decrescente no intervalo ( - 1 3 ,   1 ) , admite mínimo relativo em x = 1 e máximo relativo em x = - 1 3 .

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