Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 5.10 - Ex. 6e

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desse livro

Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.

e) f x = x - 1 x - 2 x + 3

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta f ' x > 0 .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta f ' x < 0 . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Reescrevendo a nossa função, teremos:

f x = x 3 - 7 x + 6

Agora sim, se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

f ' x = 3 x 2 - 7

Antes de fazermos a análise dos intervalos crescentes e decrescentes da função, vamos resolver essa equação do segundo grau para facilitar nossa visualização:

3 x 2 - 7 = 0

x 2 = 7 3

x = ± 7 3

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando f ' x > 0 e quando f ' x < 0 , se liga:

À direita de x = + 7 3 temos que f ' x > 0 ;

À esquerda de x = + 7 3 temos que f ' x < 0 ;

À direita de x = - 7 3 temos que f ' x < 0 ;

À esquerda de x = - 7 3 temos que f ' x > 0 .

Como fizemos essa análise? Uma maneira eficaz é adotar um valor de x qualquer à direita e à esquerda das raízes da função e ver se a função dá positiva ou negativa. Como são vários intervalos, podemos reescreve-los da seguinte forma:

Intervalos crescentes: - ∞ ,   - 7 3 ∪ 7 3 ,   + ∞ ;

Intervalos decrescentes: - 7 3 ,   7 3 .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Se observamos o gráfico, notaremos que, de fato, a solução algébrica que chegamos faz sentido! À esquerda de x = 7 3 a derivada é negativa, à direita de x = 7 3 a derivada é positiva, à esquerda de x = - 7 3 a derivada é positiva e, por fim, à direita de x = - 7 3 a derivada é negativa, assim como concluímos no passo 2 .

Então essa é nossa análise, galera! 😊

Resposta

Intervalos crescentes: - ∞ ,   - 7 3 ∪ 7 3 ,   + ∞

Intervalos decrescentes: - 7 3 ,   7 3 .

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