Enunciado

Seja f x , y = x y . Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir do ponto (1,2), sempre na direção e sentido de máximo crescimento de f .

Passo 1

Questãozinha de gradiente hein galera! (particularmente eu amo essas questões) Vamos dividir ela em passos e ir matando a questão de pouquinho hein poquinho, beleza?! SIMBORAAA! Primeiro, temos que sabe que o vetor gradiente mostra no plano x y a direção de maior crescimento da função. Caso você não saiba, vetor gradiente é um vetor formado pelas derivadas parcias de x   ( f ' x )   e   d e   y ( f ' y ) .

Passo 2

Portanto galera, sabemos que se a nossa função corresponde a T ( x , y )   x y , para saber o vetor gradiente basta deriva-la! Logo, nosso gradiente é igual a:

T x , y =   x y

T = T ' x , y = ( 1,1 )

Passo 3

E esse gradiente no nosso ponto... ele é igual a quanto?

T = ( 1,1 )

P = ( 1,2 )

Logo,

T = ( 1,1 )

Nada mudou porque nosso gradiente não varia com x nem com y !! Agora temos só que parametrizar nossa reta!!

Passo 4

Sabemos que uma reta é composta por uma constante somada uma coisa que multiplica a variável que parametriza:

X = P + x , y t

Para o nosso caso:

X = 1,2 + 1,1 t

Assim:

x = 1 + t e y = 2 + t

Onde t é meu parâmetro!

Resposta

x = 1 + t e y = 2 + t

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Para o mapa de contorno dado, desenhe as curvas de maior crescimento em P e em Q .