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Seja f x , y = x y . Determine a reta tangente ao gráfico de f , no ponto ( 1 , 2 ,   f 1 , 2 ) , que froma com o plano x y ângulo máximo.

Passo 1

Questãozinha de gradiente hein galera! (particularmente eu amo essas questões) Vamos dividir ela em passos e ir matando a questão de pouquinho hein poquinho, beleza?! SIMBORAAA! Primeiro, temos que saber do que se trata essa nossa função!!

Essa é uma visualização 3D da função!! Para o gráfico em 2D de camadas, temos:

Passo 2

Vamos começar calculando ∇ f x , y

∇ f x , y = ∂ ∂ x , ∂ f ∂ y  

Como

∂ ( x y ) ∂ x = y

∂ ( x y ) ∂ y = x Temos que

∇ f x , y = y , x

Então,

∇ f 1,2 = ( 2,1 )

Passo 3

Sabemos que uma reta é composta por uma constante somada uma coisa que multiplica a variável que parametriza:

R t = 1,2 , f 1,2 + ∇ f x , y * t

Para o nosso caso:

R t = ( 1,2 , ( f 1,2 ) + 2 , 1 t

R t = ( 1 + 2 t , 2 + t , f ( 1 + 2 t , 2 + 2 t )

Quando t = 0 , temos

R ' 0 = 2,1 , f 1,2 ⋅ ∇ f 1,2

Então temos

R ' 0 = ( 2,1 , 2,1 ⋅ 2,1 → R ' 0 = ( 2,1 , 5 )

E

R 0 = 1,2 , f 1,2

Como f x , y = x y ,

R 0 = 1,2 , 2

Passo 4

Então, nossa reta é

x , y , z = R 0 + λ ⋅ R ' ( 0 )

Substituindo pelo que a gente já achou nos passos anteriores, temos que:

x , y , z = 1,2 , 2   λ ( 2,1 , 5 )

Resposta

x , y , z = 1,2 , 2   λ ( 2,1 , 5 )

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