Enunciado

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Admita que o gráfico de z = x y represente uma superfície própria para a pratica de esqui. Adimita, ainda, que um esquiador deslize pela superfície sempre na direção de maior declive. Se ele parte do ponto ( 1,2 , 2 ) , em que ponto ele tocará o plano x y ?

Passo 1

Questãozinha de gradiente hein galera! (particularmente eu amo essas questões) Vamos dividir ela em passos e ir matando a questão de pouquinho hein poquinho, beleza?! SIMBORAAA! Temos que para essa questão, a reta de maior declive é a que que tiver gradiente maior, e esse gradiente maior se dá derivando a nossa reta e parametrizando!!! Primeiro, temos que sabe que o vetor gradiente mostra no plano x y a direção de maior crescimento da função. Caso você não saiba, vetor gradiente é um vetor formado pelas derivadas parcias de x   ( f ' x )   ,   d e   y ( f ' y ) e de z ( f ' z ) .

Passo 2

Portanto galera, sabemos que se a nossa função corresponde a f x , y = x y , para saber o vetor gradiente basta deriva-la! Logo, nosso gradiente é igual a:

f x , y = x y

T = f ' x , y = ( 1   ,   1 ,   0 )

Passo 3

E esse gradiente no nosso ponto... ele é igual a quanto?

T = ( 1   ,   1 ,   0 )

P = ( 1 , 2 , 2 )

Logo,

T = ( 1 , 2 , 0 )

Agora temos só que parametrizar nossa reta!!

Passo 4

Sabemos que uma reta é composta por uma constante somada uma coisa que multiplica a variável que parametriza:

X = P + x , y , z t

Para o nosso caso:

X = 1 , 2 , 2 + 1 , 2 , 0 t

Assim:

x = 1 + t y = 1 + 2 t e z = 2

Onde t é meu parâmetro!

Resposta

x = 1 + t y = 1 + 2 t e z = 2

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