Enunciado

Seja

f (x) = {[[-,1,s,e,x,<,0],[1,s,e,0,<,x]])

Mostre que underset(x -> 0)(lim) f (x) não existe, porém underset(x -> 0)(lim) |f (x)| existe.

Passo 1

Vamos lá pessoal.

Primeiro, temos que lembrar quando o limite existe. Lembram como vemos isso?

Vamos precisar ter os limites laterais iguais, beleza? Então no fundo temos que calcular os limites dessa função a direita e a esquerda de 0 .

Começando com o

underset(x -> 0)(lim) f (x)

Que se resume a:

underset(x -> 0^+)(lim) f (x)

underset(x -> 0^-)(lim) f (x)

Depois disso, se esses limites forem uma constante e elas forem iguais, ele irá existir.

Passo 2

Vamos começar com o limite pela direita:

underset(x -> 0^+)(lim) f (x)

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores maiores de 0 .

Aqui vai ser 1 .

Logo, vamos ter

underset(x -> 0^+)(lim) 1 = 1

Passo 3

Agora vamos fazer o limite pela esquerda:

underset(x -> 0^-)(lim) f (x)

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores menores de 0 .

Aqui vai ser - 1 .

Logo, vamos ter

underset(x -> 0^-)(lim) - 1 = - 1

Passo 4

Beleza, agora que temos os dois limites laterais, para que o limite exista, os dois valores que achamos nos passos anteriores devem ser iguais.

Então, temos que ter

underset(l i m i t e p e l a d i r e i t a)(ubrace 1) = underset(l i m t i e p e l a e s q u e r d a)(ubrace - 1)

Mas eles são diferentes, então não existe o limite de f (x) em 0 .

Passo 5

Agora vamos ver o outro limite

underset(x -> 0)(lim) |f (x)|

Que se resume a:

underset(x -> 0^+)(lim) |f (x)|

underset(x -> 0^-)(lim) |f (x)|

Depois disso, se esses limites forem uma constante e elas forem iguais, ele irá existir.

Passo 6

Vamos começar com o limite pela direita:

underset(x -> 0^+)(lim) |f (x)|

Para isso, temos que pegar a expressão do módulo da função para valores maiores de 0 .

Aqui vai ser |1| .

Logo, vamos ter

underset(x -> 0^+)(lim) |1| = |1| = 1

Passo 7

Agora vamos fazer o limite pela esquerda:

underset(x -> 0^-)(lim) |f (x)|

Para isso, temos que pegar a expressão do módulo da função para valores menores de 0 .

Aqui vai ser |- 1| .

Logo, vamos ter

underset(x -> 0^-)(lim) |- 1| = |- 1| = 1

Passo 8

Beleza, agora que temos os dois limites laterais, para que o limite exista, os dois valores que achamos nos passos anteriores devem ser iguais.

Então, temos que ter

underset(l i m i t e p e l a d i r e i t a)(ubrace 1) = underset(l i m t i e p e l a e s q u e r d a)(ubrace 1)

Opa, eles são iguais então o limite de |f (x)| existe e vai ser 1

underset(x -> 0)(lim) |f (x)|

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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