Enunciado

Determine os limites nos Exercícios 23-42.

underset(x -> 4)(lim) (4 x - x^2)/(2 - sqrt(x))

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = 4 e a função f (x) = (4 x - x^2)/(2 - sqrt(x)) . Então, temos que

f ( 4 ) = (4 ( 4 ) - ( 4 )^2)/(2 - sqrt(( 4 ))) = (0)/(0)

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver uma raiz nós vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado! Para achar o conjugado basta inverter o sinal do termo, ou seja, o conjugado de 2 - sqrt(x) é:

2 + sqrt(x)

Passo 4

Outra coisa que precisamos ficar esperto é naquele numerador alí! Sempre que tivermos um polinômio do 2º grau vamos tentar ver se podemos colocar algum termo em evidência. Nesse caso podemos, por que:

4 x - x^2 = x ( 4 - x )

Passo 5

Então vamos fazer a multiplicação e a substituição do numerador pela forma fatorada

underset(x -> 4)(lim) ((4 x - x^2)/(2 - sqrt(x))) * ((2 + sqrt(x))/(2 + sqrt(x))) = underset(x -> 4)(lim) (( 4 x - x^2 ) ( 2 + sqrt(x) ))/(( 2 - sqrt(x) ) ( 2 + sqrt(x) )) = underset(x -> 4)(lim) ((x (4 - x)) ( 2 + sqrt(x) ))/(( 2 - sqrt(x) ) ( 2 + sqrt(x) ))

Agora vamos olhar para o denominador e vamos precisar lembrar do caso da diferença de quadrados que diz que:

(a + b) (a - b) = a^2 - b^2

No nosso caso, comparando as expressões vamos ter que a = 2 e b = sqrt(x) . Então o numerador vai ficar

( 2 - sqrt(x) ) ( 2 + sqrt(x) ) = (2)^2 - ( sqrt(x) )^2 = 4 - x

Passo 6

Vamos juntar tudo então

underset(x -> 4)(lim) ((x (4 - x)) ( 2 + sqrt(x) ))/(( 2 - sqrt(x) ) ( 2 + sqrt(x) )) = underset(x -> 4)(lim) ((x (4 - x)) ( 2 + sqrt(x) ))/(( 4 - x )) = underset(x -> 4)(lim) x (2 + sqrt(x))

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

underset(x -> 4)(lim) x (2 + sqrt(x)) = (4) (2 + sqrt(4)) = 16

Resposta

underset(x -> 4)(lim) (4 x - x^2)/(2 - sqrt(x)) = 16

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