Determine os limites nos Exercícios 23-42.

lim x → 4 ⁡ 4 x - x 2 2 - x

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = 4 e a função f x = 4 x - x 2 2 - x . Então, temos que

f ( 4 ) = 4 ( 4 ) - ( 4 ) 2 2 - ( 4 ) = 0 0

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver uma raiz nós vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado! Para achar o conjugado basta inverter o sinal do termo, ou seja, o conjugado de 2 - x é:

2 + x

Passo 4

Outra coisa que precisamos ficar esperto é naquele numerador alí! Sempre que tivermos um polinômio do 2º grau vamos tentar ver se podemos colocar algum termo em evidência. Nesse caso podemos, por que:

4 x - x 2 = x ( 4 - x )

Passo 5

Então vamos fazer a multiplicação e a substituição do numerador pela forma fatorada

lim x → 4 ⁡ 4 x - x 2 2 - x ⋅ 2 + x 2 + x = lim x → 4 ⁡ ( 4 x - x 2 ) ( 2 + x ) ( 2 - x ) ( 2 + x ) = lim x → 4 ⁡ x 4 - x ( 2 + x ) ( 2 - x ) ( 2 + x )

Agora vamos olhar para o denominador e vamos precisar lembrar do caso da diferença de quadrados que diz que:

a + b a - b = a 2 - b 2

No nosso caso, comparando as expressões vamos ter que a = 2 e b = x . Então o numerador vai ficar

( 2 - x ) ( 2 + x ) = 2 2 - ( x ) 2 = 4 - x

Passo 6

Vamos juntar tudo então

lim x → 4 ⁡ x 4 - x ( 2 + x ) ( 2 - x ) ( 2 + x ) = lim x → 4 ⁡ x 4 - x ( 2 + x ) ( 4 - x ) = lim x → 4 ⁡ x 2 + x

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

lim x → 4 ⁡ x 2 + x = 4 2 + 4 = 16

Resposta

lim x → 4 ⁡ 4 x - x 2 2 - x = 16

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