Enunciado

Seja P t a porcentagem de norte-americanos menores de 18 anos no tempo t . A tabela dá os valores dessa função nos censos realizados de 1950 a 2000 .

(a) Qual o significado de P ' t ? Quais são suas unidades?

(b) Construa uma tabela de valores para P ' t .

(c) Faça os gráficos de P e P ' .

(d) Como seria possível obter valores mais precisos para P ' ( t ) ?

Passo 1

Fala aí, meus amores!

Nessa questão foi dada uma tabelinha com as porcentagens de norte-americanos menores de 18 anos de 1950 até 2000 . Os valores dados são esses aqui:

O item (a) do enunciado pede pra explicarmos o significado de P ' t , a derivada de P t .

Além disso, o item (b) pede pra usarmos esses valores de t e P t e construir uma tabela pra P ' t .

No item (c), precisamos fazer um esboço do gráfico P t e P ' t .

E por fim, no item (d), a questão pergunta como poderíamos obter valores mais precisos para P ' t

Para obter as derivadas de valores discretos como nesse caso, podemos simplificar a definição de derivada. Olha só:

P ' t = lim h → 0 ⁡ P t + h - P t h ≈ P t + h - P t h → P ' t = ∆ P ∆ t

Olha só que interessante. Isso significa que podemos aproximar a derivada, calculado a razão das diferenças entre os valores discretos consecutivos que temos na tabela. Vamos ver como fazer isso juntos.

Bora começar! 😉

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos atacar o item (a) e tentar entender o significado de P   ' ( t ) .

Pra isso, precisamos lembrar que a derivada de uma função representa a sua taxa de variação. Ou seja, nesse caso o P   ' ( t ) seria a taxa na qual a porcentagem da população norte-americana com idade de até 18 anos está mudando ao longo do tempo.

Uma maneira um pouco mais concreta de enxergar isso é lembrando que se a porcentagem dessa população aumentar, P   ' ( t ) será positivo. Consequentemente, se esse porcentagem diminuir, P ' ( t ) sera negativo.

Baseado nessa interpretação, a unidade de P ' ( t ) será %/ano.

Passo 3

O item b) pede pra construirmos uma tabela com valores pra P ' t . Vamos relembrar os valores de P t dados:

Vamos calcular as estimativas dos valores da derivada com a simplificação:

P ' t = ∆ P ∆ t

Vamos começar calculando o valor de P ' 1950 . Como esse é um dos extremos, só conseguimos usar as informações dos pontos t = 1995 e t = 1960 . Olha só:

P ' 1950 = P 1960 - P 1950 1960 - 1950 = 35,7 - 31,1 10 →

→ P ' 1950 = 0,46

Vamos calcular agora para t = 1960 . Agora conseguimos usar o ponto anterior e o seguinte pra calcular as estimativas e usar a média entre os dois. Olha só:

P 1 ' 1960 = P 1960 - P 1950 1960 - 1950 = 0,46

P 2 ' 1960 = P 1970 - P 1960 1970 - 1960 = 34,0 - 35,7 10 →

→ P 2 ' 1960 = - 0,17

Calculando a média, temos:

P ' 1960 = 0,46 - 0,17 2 = 0,145

Agora só precisamos repetir esse processo pra todos os pontos:

Para t = 1970 :

P 1 ' 1970 = P 1970 - P 1960 1970 - 1960 = - 0,17

P 2 ' 1970 = P 1980 - P 1970 1980 - 1970 = 28,0 - 34,0 10 →

→ P 2 ' 1970 = - 0,6

Calculando a média, temos:

P ' 1970 = - 0,17 - 0,6 2 = - 0,385

Para t = 1980 :

P 1 ' 1980 = P 1980 - P 1970 1980 - 1970 = - 0,6

P 2 ' 1980 = P 1990 - P 1980 1990 - 1980 = 25,7 - 28,0 10 →

→ P 2 ' 1980 = - 0,23

Calculando a média, temos:

P ' 1980 = - 0,6 - 0,23 2 = - 0,415

Para t = 1990 :

P 1 ' 1990 = P 1990 - P 1980 1990 - 1980 = - 0,23

P 2 ' 1990 = P 2000 - P 1990 2000 - 1990 = 17,2 - 25,7 10 →

→ P 2 ' 1990 = - 0,85

Calculando a média, temos:

P ' 1990 = - 0,23 - 0,85 2 = - 0,54

Para t = 2000 , calculamos usando apenas as informações em t = 2000 e t = 1990 :

P ' 2000 = P 2000 - P 1990 2000 - 1990 = - 0,85

Com esses valores calculados, conseguimos construir a tabela:

Boa! Conseguimos terminar a tabelinha!

Passo 4

Pra fechar o item c), precisamos traçar os gráficos de P t e P ' t . Como as escalas são bem diferentes, vamos fazer um gráfico pra cada um.

Gráfico de P t :

Gráfico de P ' t :

Só falta mais um item agora!

Passo 5

O item (d) faz uma pergunta bem direta pra gente. Como podemos aumentar a precisão das estimativas pra P ' t ?

Vamos olhar só mais uma vez pra definição da derivada:

P ' t = lim h → 0 ⁡ P t + h - P t h

Percebe que a derivada é representado por um limite em que h está tendendo a 0 ? Isso significa que quanto mais conseguirmos deixar h de 0 , melhor será a nossa estimativa.

Como h representa o intervalo entre os pontos que estamos usando pra nossa estimativa, conseguimos melhorar a nossa precisão obtendo mais medições em pontos intermediários.

Quanto mais pontos tivermos, melhor a nossa estimativa!

Ufa! Conseguimos terminar!

Resposta

a) P   ' ( t ) é a taxa na qual a porcentagem da população norte-americana com até 18 anos de idade está mudando em relação ao tempo. Sua unidade é %/ano.

b)

c)

Gráfico de P t :

Gráfico de P ' t :

d) Conseguimos melhorar a nossa precisão obtendo mais medições em pontos intermediários.

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