1. Seja F(x) = ∫ 0 x f t d t       o n d e   f t =   { 1 t             s e     t   ≥   1 t 2         s e     t   <   1

Verifique que F'(x) = f(x) em todo x.

Passo 1

Em integrais temos essa propriedade,

∫ a b f x d x = ∫ a b f x d x + ∫ b c f ( x ) d x

Passo 2

Aplicando em nossa questão:

F x = ∫ 0 x f t d t → ∫ 0 x t 2 d t       s e   t < 1 ∫ 0 1 1 t d t + ∫ 1 x 1 t d t       s e   t ≥ 1

Passo 3

Resolvendo...

∫ 0 x t 2 d t = t 3 3 | 0 x = x 3 3 - 0 = x 3 3           s e   x ≤ 1

  ∫ 0 1 t 2 d t +   ∫ 1 x 1 t d t = t 3 3 | 0 1 + l n | 1 x = 1 3 + l n x           s e   x > 1

  F ' x = f x ?

  F ' x = x 3 3 ' = 3 x 2 3 = x 2                           s e       x ≤ 1

  F ' x = 1 3 + l n x ' = 1 x                                     s e       x > 1

Resposta

F x = x 3 3                           s e   x ≤ 1 1 3 + l n x         s e   x > 1                 F ' x = x 2         s e   x < 1 1 x           s e   x > 1

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